稳恒磁场⚓︎

磁感应强度⚓︎

比值\(\dfrac{F}{qv\sin \theta}\)反映了空间中某一点的磁场强弱，于是我们定义磁感应强度：

\[ \boldsymbol{B}=\dfrac{\boldsymbol{F}}{qv\sin\theta}, \]

作用于某一运动的电荷的磁力(洛伦兹力)为

\[ \boldsymbol{F}=q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}. \]

从上式我们可以得知，运动电荷受到的磁力\(\boldsymbol{F}\)的方向与\(\boldsymbol{l}\)和\(\boldsymbol{v}\)所在平面是垂直的。

毕奥-萨伐尔定律⚓︎

内容⚓︎

**电流元\(I\textrm{d}\boldsymbol{l}\)在某一点产生的磁感应强度\(\textrm{d}\boldsymbol{B}\)的大小与电流元大小成正比，与电流源到该点距离\(r\)的平方成反比，还与电流元\(I\textrm{d}\boldsymbol{l}\)与\(\boldsymbol{r}\)之间夹角的正弦值\(\sin\theta\)成正比，即

\[ \textrm{d}\boldsymbol{B}=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\textrm{d}\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{r}}{r^3}. \]

上式同时包含了大小和方向的信息。

常见电流周围的磁场强度⚓︎

长直导线与无限长直电流⚓︎

长直导线周围空间一点P产生的磁感应强度为：

\[ B=\frac{\mu_0 I}{4\pi d}(\cos{\theta_1}-\cos{\theta_2}) \]

其中，d是这一点到长直导线的距离，\(\theta_1\)和\(\theta_2\)分别表示P与电流开始端和结束端连线与导线的夹角

无限长导线中有直电流\(I\)，则距离导线垂直距离为\(d\)处的磁场强度为：

\[ B=\dfrac{\mu _0I}{2\pi d}. \]

圆电流轴线⚓︎

圆电流半径为\(R\)，则其轴线上某点坐标为\(z\)处的磁场强度

\[ B=\dfrac{\mu _0IR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}. \]

特别的，在圆电流中心点的磁感应强度为：

\[ B=\frac{\mu_0 I}{2R} \]

考虑在远端的情况，即\(z \gg R\)时，磁感应强度为：

\[ B=\dfrac{\mu_0 I R^2}{2z^3}=\dfrac{\mu_0 IS}{2\pi z^3} \]

由这种情况，可以引申出一个新的物理量——磁矩\(\vec{m}\)

对于平面环形电流，定义磁矩\(\vec{m}=IS\vec{e}_n\)，其中\(S\)是环形电流所围的面积，\(I\)是环形电流的大小

根据这一定义，环形电流中间一点的磁感应强度可以进一步表示为：

\[ \vec{B}_p=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{\vec{m}}{z^3} \]

通电螺线管⚓︎

对于通电螺线管，其中轴线上一点P的磁感应强度为：

\[ B=\frac{\mu_0 n I}{2}(\cos \beta_1 - \cos \beta_2) \]

其中，\(n\)是单位长度的匝数，\(\beta_1\)和\(\beta_2\)是P与两端连线与中轴线的夹角

对于无限长的通电螺线管，其中轴线上任意一点的磁感应强度为：

\[ B=\mu_0 n I \]

磁高斯定理、安培环路定理⚓︎

磁通量⚓︎

取空间中一个曲面，则曲面上的磁通量可以定义为：

\[ \Phi_m=\iint \vec{B} \cdot d\vec{S} \]

磁场的高斯定理⚓︎

磁感线总是封闭的，由于不存在磁单极子，恒稳磁场总是无源的，因此对于任一空间封闭曲面，进入与离开的磁感线总是数目相等的，表述为数学形式：

\[ \bigcirc\kern{-13.5pt}\int\kern{-7.2pt}\int \vec{B}\cdot d\vec{s}=0 \]

这称为磁场的高斯定理

安培环路定理⚓︎

真空稳恒磁场内，磁感应强度\(\boldsymbol{B}\)的环流等于穿过积分回路所有传导电流代数和的\(\mu _0\)倍，即

\[ \oint \boldsymbol{B}\cdot \textrm{d}\boldsymbol{l}=\mu _0 \sum I, \]

正负号由右手定则决定。对于其中非无限长的长直导线，其贡献度为零，即

\[ \oint \vec{B}\cdot \textrm{d}\vec{l}=0. \]

安培环路定理的微分形式表示为

\[ \nabla \times \boldsymbol{B}=\mu _0\boldsymbol{j}. \]

磁场对载流导线的作用⚓︎

安培力⚓︎

对于某一节电流元\(I\textrm{d}\boldsymbol{l}\)而言，该点磁感应强度若为\(\boldsymbol{B}\)，则其受到的磁场力

\[ \textrm{d}\boldsymbol{F}=I\textrm{d}\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{B}. \]

积分表达式如下：

\[ \boldsymbol{F}=\int_{L}Id\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{B} \]

其中，\(\boldsymbol{B}\)是每一点的磁感应强度，\(I\)是导线中的电流

特别的，对于空间封闭导线，其受到的安培力的合力为0；对于空间开口的一段导线，其受到的安培力合力等于一根连接其两端的导线所受的安培力

无限长直导线间作用力⚓︎

两平行无限长导线相距为\(d\)，各通以电流\(I_1\)和\(I_2\)，则它们单位长度受到另一导线的安培力大小为

\[ F=\dfrac{\mu _0I_1I_2}{2\pi d}. \]

国际单位制安培定义

利用上式定义S.I.中的电流强度单位安培：真空中横截面积可以忽略的两根相距\(1\)米的无限长直导线通以等量恒定电流时，如果它们单位长度受到另一导线的安培力大小为\(2\times 10^{-7}\textrm{N}\)，则此时电流强度定义为\(1\textrm{A}\)。

于是知道

\[ \mu _0=4\pi \times 10^{-7}\textrm{N}/\textrm{A}^2. \]

载流线圈受到磁场的作用⚓︎

以方形的载流线圈为研究对象，假设其长和宽分别是\(l_1\)和\(l_2\)。

载流线圈在磁场中受到的合力为0，受到的合力矩为：

\[ M=BIl_1l_2\cos \theta=BIS\cos \theta=BIS\sin \varphi \]

其中，\(\theta\)是线圈平面与磁场的夹角，\(\varphi\)是线圈平面法向与磁场的夹角。

利用之前对磁矩的定义：\(\boldsymbol{m}=IS\boldsymbol{e}_n\)

可以将力矩的矢量形式表示如下：

\[ \boldsymbol{M}=\boldsymbol{m}\times\boldsymbol{B} \]

\(\boldsymbol{m}\)的方向可以通过右手螺旋定则确定

对不同\(\varphi\)下线框的状态进行分析，不难得出：

\(\varphi=\dfrac{\pi}{2}\)时，载流线圈受到的磁场力矩最大
\(\varphi=0\)时，载流线圈处于稳定平衡状态，此时也是其能量最低的状态
\(\varphi=\pi\)时，载流线圈处于不稳定平衡状态

对于不规则形状的线圈，可以证明，以上所属都仍然是成立的。

安培力做功⚓︎

安培力对直导线做功⚓︎

假设轨道间距为\(l\)，电流保持恒定为\(I\)，磁场保持恒定为\(B\)，则安培力对导线所做的功可以计算如下：

\[ A=F\Delta x=BIl\Delta x=BI\Delta S=I\Delta \Phi_m \]

其中\(\Delta \Phi_m=\Phi_{终}-\Phi_{始}\)为磁通量的增量

安培力对载流线圈做功⚓︎

载流线圈受到的安培力合力为0，因此做功的实际是安培力矩。

安培力矩的做功可以用如下方式计算：

\[ dA=-Md\phi=-BIS\sin\varphi d \varphi=Id(BS\cos\varphi)=Id\Phi_m \]

也即：

\[ A=I(\Phi_{2}-\Phi_{1}) \]

在形式上，安培力对载流线圈和直导线的功是一致的，都可以用电流和磁通量变化表示。

值得一提的是，实际上，磁场的均匀与否并不影响上述结论的成立，但是电流的大小和方向一定要保持不变，才能使上述结论成立

磁偶极子在非匀场强中的受力⚓︎

利用安培力做功公式，可以算出磁偶极子在非匀强场的受力。将磁偶极子沿\(x\)方向运动，安培力做功

\[ F\textrm{d}x=I\bigg[(B_1+\dfrac{\partial B}{\partial x})S-B_1S\bigg]=\dfrac{\partial B}{\partial x}IS\textrm{d}x. \]

于是

\[ F_x=\boldsymbol{m}\cdot \dfrac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial x}. \]

推广得

\[ F=(\boldsymbol{m}\cdot \nabla)\boldsymbol{B}. \]

有磁矩分子在磁场中的势能⚓︎

对于磁矩为\(\boldsymbol{m}\)的分子在磁场中的能量：

\[ -dU=dA=d(\boldsymbol{m\cdot B}) \]

也即：

\[ U=-\boldsymbol{m\cdot B} \]

这种能量称为场相互作用能。

最后更新: March 12, 2023
创建日期: March 12, 2023