电介质⚓︎

电介质简介⚓︎

电介质是指没有任何可以自由移动电子的理想绝缘体。电介质可以是常见的固态，也可以是液态和气态。

根据构成物质原子的特性，电介质分子可以分成两类；

如果电介质分子正负电荷的中心相互重合，在分子层面上就不具有极性，称为无极分子；
如果电介质分子正负电荷的中心不重合，则在分子层面上就具有极性，称为有极分子。

需要一提的是，无论是由有极分子还是无极分子构成的电介质，在宏观上都是电中性的。对于无极分子，其本身不具有极性，构成的物质也不带极性；而对于有极分子，虽然每个分子都具有极性，但是由于数量庞大，在统计意义上互相抵消，整体对外也不显电性。

电介质与外加静电场的相互作用⚓︎

无极分子电介质⚓︎

无极分子在外界电场的作用下，正负电荷的中心发生相对运动，产生极性，形成电偶极子，受到电场力力矩作用后同向排列，宏观上产生电荷。

无极分子极化产生的电荷称为极化电荷，也称为束缚电荷。

对于密度均匀的电介质，由于各个分子之间距离极近，电介质中间部分的电荷相互抵消，无净电荷存在，电荷完全分布在外表面上。这种极化是由正负电荷中心相对移动产生的，称为位移极化。

注：极化电荷和自由电荷是两种完全不同的电荷，在讨论带电时一般都会分开来分别考虑。

有极分子电介质⚓︎

有极分子本身可以看成一对对电偶极子，在外电场的作用下，其极矩逐渐转向电场方向。这种极化是由电矩转向产生的，因此称为转向极化。

对于密度均匀的电介质，内部无净电荷存在，电荷都分布在外表面上。

值得一提的是，无论对于有极分子还是无极分子，如果电介质密度不均匀，则内部可以存在净电荷，电介质也相应的具有电荷体密度。

极化强度与极化电荷⚓︎

极化强度⚓︎

定义极化强度矢量为：

\[ \vec{P}=\lim_{\Delta\to 0}\dfrac{\displaystyle\sum\vec{p_i}}{\Delta V} \]

其中\(\vec{p_i}\)为体积为\(\Delta V\)范围内的某个分子的电偶矩。极化强度反映了一点的极化程度。

实验证明，某一点的极化强度与这一点的和场强(不太强)成正比：

\[ \vec{P}=\mathcal{X}_e \varepsilon_0 \vec{E}, \]

其中\(\mathcal{X}_e\)是介质的极化率，是一个没有量纲的常数且

\[ \mathcal{X}_e=\varepsilon _r -1. \]

注：上述等式总是成立的，与电场的均匀性无关。

电介质场强问题符号说明

在讨论电介质的场强问题时，会遇到许多的电场强度，在这里对其符号与意义做一次解释：\(E\)表示介质内部某一点的总场强，\(E'\)表示介质极化之后产生的附加电场（主要取决于表面电介质电荷分布），\(E_0\)表示外加电场

不难看出，对于介质内部一点：

\[\vec{E}=\vec{E'}+\vec{E}_0\]

注1：显然，上述等式总是成立的，与电场均匀与否无关。

注2：上述等式的场强是考虑符号的，因此相加，在实际情况中，附加电场和外电场的方向一般是相反的。

极化电荷⚓︎

在电介质表面，面元\(\Delta S\)处的极化电荷的面密度满足如下关系：

\[\sigma'=P\cos \theta=\vec{P}\cdot \vec{e}_n,\]

其微分形式表示为

\[ \nabla\cdot \vec{P}=-\rho^{\prime}. \]

其中，\(\rho^{\prime}\)表示某一点极化电荷密度。

对上式的说明

注1：上述等式表示的是极化电荷的面密度和电极化强度在数量上的关系，电极化强度的方向应该根据电场强度的方向确定。

注2：上述等式在任意情况下都是成立的，对于极化的均匀性不做要求。

注3：值得一提的是，上述等式计算出的电荷面密度，仅仅只是极化电荷的面密度，假设表面上存在自由电荷，则自由电荷对面密度的贡献不会被上式得到的密度表现出来。

利用上面的结论，可以得到一个常用的推论：

极化强度为\(\boldsymbol{P}\)的均匀极化介质球，其内部是匀强电场且电场强度大小为\(-\dfrac{\boldsymbol{P}}{3\varepsilon_0}\)。（无外部电场，总电场就是附加电场）

介质中静电场的基本定理⚓︎

环流定理⚓︎

在外加电场是静电场的条件下，极化电场也是静电场，因此和电场也是静电场，满足环流定理：

\[ \oint \vec{E}\cdot \textrm{d}\vec{l}=0 \]

高斯定理⚓︎

电介质在外加电场中的高斯定理：

\[ \bigcirc\kern{-13.5pt}\int\kern{-7.2pt}\int_{S}(\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P})\cdot \textrm{d}\vec{S}=\sum_i{q_{i0}} \]

其中\(E\)是某一点的总电场，\(P\)是某一点的极化强度，\(\displaystyle\sum_{i}q_{i0}\)是高斯面内的自由电荷量。

证明

根据高斯定律，有

\[ \bigcirc\kern{-13.5pt}\int\kern{-7.2pt}\int_{S}\vec{E}\cdot \textrm{d}S=\sum_{i}\dfrac{1}{\varepsilon _0}(q_{i0}+q_{i}^{\prime}), \]

由于

\[ \bigcirc\kern{-13.5pt}\int\kern{-7.2pt}\int_{S}\vec{P}\cdot\textrm{d}S=-\sum_{i}q_{i}^{\prime}, \]

移项得

\[ \bigcirc\kern{-13.5pt}\int\kern{-7.2pt}\int_{S}(\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P})\cdot \textrm{d}\vec{S}=\sum_i{q_{i0}}. \]

定义\(\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}\)，称为电位移矢量。

电位移矢量

电位移矢量可以通过高斯面内自由电荷量计算，但其本质上是由外电场，自由电荷电场，附加电场所共同决定的。电位移矢量本身没有物理意义。

注：电位移矢量的定义式，在任何情况下都是成立的，与电场的均匀于否没有关系。

如果利用之前的公式，对于\(\vec{D}\)可以做进一步的计算

\[ \vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\mathcal{X}_e \varepsilon_0 \vec{E}=\varepsilon_0(1+\mathcal{X}_e)\vec{E}=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E}=\varepsilon \vec{E}. \]

其中\(\varepsilon_r\)称为相对介电常数，\(\varepsilon=\varepsilon _0 \varepsilon _r\)称为电介质介电常数。

对上述等式的说明

上述等式，除了第一个等号几乎永远成立之外，另外两个等号只有在电介质对于外电场线性响应时才成立，典型的反例就是驻极体（极化强度一定的物体，显示其不会对外电场产生线性响应）不满足上述公式。

总结⚓︎

对于电介质在电场中的问题，一般的解决方法如下：

利用高斯定律求出\(\vec{D}\)的值；

\[ \bigcirc\kern{-13.5pt}\int\kern{-7.2pt}\int_{S}\vec{D}\cdot \textrm{d}S=\sum_{i}q_{i0}. \]

求得\(\vec{D}\)后联立下述方程组来求解出\(\vec{E}\)和\(\vec{P}\)；

\[ \begin{cases} \boldsymbol{E}=\dfrac{\boldsymbol{D}}{\varepsilon},\\ \boldsymbol{P}=(\varepsilon-\varepsilon _0)\boldsymbol{E},\\ \varepsilon=\varepsilon _0\varepsilon _r. \end{cases} \]

而后再求电介质体表面电荷分布；

\[ \sigma^{\prime}=\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{e}_n. \]

最后求出任意一点的极化电荷分布.

\[ \nabla\cdot \boldsymbol{P}=-\rho^{\prime}. \]

介质边界两侧的静电场⚓︎

根据式子

\[ \vec{P}=(\varepsilon-\varepsilon _0)\vec{E},\quad \vec{D}=\varepsilon\vec{E}, \]

此时一定有

\[ \varepsilon_1 E_1=\varepsilon E_2 \]

可以知道\(\vec{E},\vec{D},\vec{P}\)三者平行。

电场强度与界面垂直⚓︎

跨过分界面作一圆柱高斯面，易得

\[ \vec{D}_1=\vec{D}_2. \]

根据\(\vec{D}\)与\(\vec{E}\)的关系，显然有：

\[ \varepsilon _1\vec{E}_1=\varepsilon _2\vec{E}_2. \]

电场强度与界面斜交⚓︎

设电场强度\(\vec{E}_i\)的方向与界面法线方向夹角为\(\theta _i\)。在法线方向上，容易知道：

\[ \vec{D}_1\cos\theta _1=\vec{D}_2\cos\theta _2. \]

在垂直于法线方向上，根据环路定理，可以得到

\[ \vec{E}_1\sin\theta _1=\vec{E}_2\sin\theta _2. \]

静电场能⚓︎

定义⚓︎

电荷系统的静电能等于将系统中各个电荷元彼此分散到无穷远的过程中电场力做的功，或者等于将各个电荷从无穷远移过来的过程中外力做的功。

自能：单一带电体自身电荷元相互作用贡献的静电能；
互能：不同带电体上的电荷相互作用贡献的静电能。

电荷系统的静电场能⚓︎

空间中单个的点电荷不具有电场能。

空间中两个点电荷之间的电场能，等价于其中一个电荷在另一个电荷的电场中从无穷远处移动到对应位置外力所做的功，不难得出：

\[ W_e=\frac{qq_0}{4\pi \varepsilon_0 r} \]

两个点电荷的情况，可以进一步推广到多个点电荷系。

对于一个具有\(n\)个点电荷的点电荷系，其具有的互能(即静电场能，因为抽象为点电荷后无自能)总和为

\[ W_e=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}q_iV_i. \]

其中，\(q_i\)表示某个点电荷的电量，\(V_i\)表示该点的电势。

对于电荷连续分布的带电体，其静电能类似推广为

\[ W_e=\int V\textrm{d}q.\tag{1} \]

式(1)计算得到的静电场能包含了自能和互能。静电场能永远是正的。当空间中只有这一个带电体时，这一能量仅包含带电体的“自能”。

为什么静电场能永远是正的

同一带电体中电荷分布比较密集，所以自能一般比互能大。并且自能为正，互能为负，因此，静电场能永远是正的。

对于带电体电场能的一些说明

从理论上而言，\(V\)应该是单位电荷之外的部分产生电场的电势，但由于最终结果和上述公式只相差一个二阶无穷小，因此可以不用在意这一细节。

多个连续带电体的总能量等于各个带电体各自的"自能"加上各个带电体之间的"互能"。

电容器的静电场能⚓︎

对于带电\(\pm Q\)的电容器，根据上式，可以知道其静电场能：

\[ \begin{align*} W_e&=\dfrac{1}{2}\int V\textrm{d}q\\ &=\dfrac{1}{2}\int_{S+} V_+\textrm{d}q+\dfrac{1}{2}\int_{S-} V_-\textrm{d}q\\ &=\dfrac{1}{2}Q(V_+-V_-)\\ &=\dfrac{1}{2}QU_c=\dfrac{1}{2}CU_c^2=\dfrac{1}{2}\dfrac{Q^2}{C}. \end{align*} \]

其中，\(U_C\)为极板间的电势差，\(C\)为电容。

静电场能量密度⚓︎

静电场能量密度

\[ w_e=\dfrac{1}{2}\vec{D}\vec{E}. \]

特别的，平行板电容器极板间电场的能量密度为：

\[ w_e=\dfrac{1}{2}\varepsilon E^2 \]

其中\(\varepsilon\)是极板间电介质的介电常数

推导

根据平行板电容器构造，我们可以知道

\[ \sigma = D,\quad U_C=Ed, \]

于是，

\[ W_e=\dfrac{1}{2}\sigma S\cdot Ed=\dfrac{1}{2}DEV, \]

即静电场能量密度

\[ w_e=\dfrac{W_e}{V}=\dfrac{1}{2}DE. \]

于是，计算静电场总能量我们还能使用如下式子：

\[ W_e=\iiint _V w_e\textrm{d}\tau=\dfrac{1}{2}\iiint _V DE\textrm{d}\tau. \]

展开，得：

\[ \begin{align*} W_e&=\dfrac{1}{2}\iiint _V (\varepsilon _0E+P)E\textrm{d}\tau\\ &=\dfrac{1}{2}\iiint _V \varepsilon _0E^2\textrm{d}\tau+\dfrac{1}{2}\iiint _VPE\textrm{d}\tau.\\ \end{align*} \]

前者只电场强度有关，我们一般称为纯电场能；后者还与极化强度\(\vec{P}\)有关，我们一般称为极化能。

最后更新: March 12, 2023
创建日期: March 12, 2023