导体电学⚓︎

导体的静电平衡⚓︎

静电平衡性质⚓︎

将一带电棒同导体接触，或将导体置于外电场中发生静电感应，导体电荷瞬间在分布上趋于稳定.宏观上，自由电子不再运动，这种状态称为导体的静电平衡状态，当其处于这种状态下时，满足：

• 导体内部场强处处为零.根据高斯定理，我们还可以知道导体内部没有净电荷；

• 导体内处处电势相同，并且等于导体表面的电势.

需要特地说明的是，虽然由于静电感应产生的电荷分布方式有很多，但是无论如何分布，带电体拥有的总电量一定是不变的.

静电平衡状态下的电荷分布⚓︎

• 电荷只分布在导体的表面

• 与其他物体和电荷距离较远的导体称为孤立导体.对于孤立导体，其表面电荷分布满足：曲率为正时，曲率越大，电荷分布越密集.

导体表面外侧的场强⚓︎

由高斯定理选取很小的圆柱面为高斯面，不难得到：

其中\(\boldsymbol{e}_n\)表示面的法向量，用于确定带电量的正负.

这一公式说明了电荷密度和电场强度的关系，但是实际上电场强度并不是由电荷密度决定的，它是由空间中每一点电荷产生的场强决定的

对于一个导体，其表面的电荷密度是由表面一点的曲率决定的，曲率为正时，曲率越大电荷密度越大；曲率为负时，导体向内凹陷处电荷密度更小

电场唯一性定理⚓︎

定理内容⚓︎

在空间中给定某一边界上的电势\(V_s\)，或者电势沿着法向的梯度\(\dfrac{\partial V}{\partial \vec{n}}\)；并给定下列条件之一：

• 每一个导体的电势；

• 或每一个导体的带电量；

• 或其中一些导体的电势和其他导体的带电量；

则边界\(S\)内的静电场分布唯一确定.

利用电场唯一性定理，对于由于在外电场中达到静电平衡的导体的电荷不均匀分布而造成的对外电场的影响，我们可以利用多个点电荷来替代其效果，这样一来，便于计算空间内的电势分布情况.

应用⚓︎

无穷大平板左侧有一点电荷：

观察电场线，易知其中垂线上电势均相等，是等势面，因此导体板感应电荷产生的电场可以由右边带有\(-q\)电量的点电荷来等效替代，我们称之为像电荷.

球壳外一点电荷：

距离球壳中心为\(a\)，带电量为\(q\)的一点电荷，球壳因静电感应而产生的电场相当于带电量为\(q^{\prime}\)，距离圆心\(b\)的点电荷，其中：

球壳的等效⚓︎

对于未接地的导体球壳，其外部有一点电荷\(q\)，则其表面产生的感应电荷对外部的电场分布的作用等同于如图中所示\(q^{\prime}\)和\(q^{\prime\prime}\)的共同作用：

其中，\(q^{\prime}\)是点电荷\(q\)的镜像电荷，并且\(q^{\prime\prime}=-q^{\prime}\).

如果接地，则可直接等效为如下所示的结构。

空腔导体、静电屏蔽⚓︎

实心导体⚓︎

实心导体静电感应产生的电荷仅分布在导体表面，内部无电荷分布；内部场强处处为0，电势处处相等（类似于带点球壳）

导体空腔⚓︎

当空腔内部无电荷存在时，电荷仅分布于导体表面，整个导体内部的场强处处为0，电势处处相等（和实心球体类似）

当空腔内部存在电荷时：

• 电荷仅分布在内外表面，内表面电荷数与内部电荷电量相等，外表面电荷数由导体总带电量计算

• 实行部分无电荷分布，电场强度为0，电势处处相等

• 导体内部电场仅由内部空腔形状与内部点电荷电量决定，与外加电场无关

• 导体外部形成的电场，仅由外表面电荷的分布决定，与空腔内电荷无关

换而言之，空腔导体内部电荷电场（包括可能存在的电荷和感应电荷）对外部空间的电场完全没有作用，这可以理解为，内部的电场被导体包了起来，不会与外界的场发生相互作用，这一性质也就产生了静电屏蔽

静电屏蔽⚓︎

有空腔导体，可以屏蔽其内部的电场；接地的有空腔导体，可以屏蔽外部电场

电容和电容器⚓︎

孤立导体的电容⚓︎

对于一个独立的导体，如果其带电量为\(q\)，并且其本身具有电势\(V\)，对于同一导体，上述两者之比是一个定值，我们定义其为电容，记作\(C\)，即

依据SI，其单位为\(F\)(法拉).在实际应用中，常使用\(\mu\)F和pF，即

电容器⚓︎

对于一般的电容器(由两个导体构成)，其电容计算方法为

对于平板电容器而言，其电容为：

对于球形电容器而言，其电容为：

其中\(d=r_A-r_B\).若\(d\ll r_A\)，则电容与平板电容公式相同.

对于圆柱体电容器而言，其电容为：

电容器的连接⚓︎

对于串联的电容器，其可以用一个电容器来等效替代，它们之间的关系为：

若为并联，则关系变为：

传导电流⚓︎

电流强度和电流密度⚓︎

电流强度指在单位时间内通过导体某一横截面的电荷量，用\(I\)表示，即

电流密度的大小等于从垂直于电流方向的单位截面上流过的电流强度，用\(j\)代表，即

如果载流子浓度为\(n\)，带电量为\(q\)，漂移速度为\(\boldsymbol{v}_b\)，则电流密度矢量为

电流密度反映了每一点的电流强度，对于流过任意有限大小的横截面，其电流强度为

欧姆定律和焦耳定律的微分形式⚓︎

欧姆定律微分形式表达为

由于电场力做功的功率就是电流的电热功率，于是

电动势、稳恒电场⚓︎

电源和电动势⚓︎

能够提供非静电作用，在导体内维持电场，即在导体两端维持电势差，从而产生持续电流的装置称为电源。

将非静电作用当做一种非静电场，记作\(\boldsymbol{E}_k\)，于是电动势表示为

稳恒电路中的稳恒电场⚓︎

闭合回路中，电场是由电源正负极上的电荷和外电路导线表面上的局部电场共同产生的。这种并非静止的、只是空间分布保持恒定的电荷产生的电场称为稳恒电场。事实证明，稳恒电场也遵循高斯定理和环路定理。

对于闭合回路而言，其电动势

又由于环路定理，有

于是对于闭合回路而言，有

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