静电场
电力和电荷
- 电磁相互作用的特征：
- 静电力比万有引力强；
- 电磁力是一种长程力；
- 电磁力有吸引和排斥两种形式；
- 通常，电力要比电磁力强\(c^2\)倍.
- 电荷的性质：
- 电荷具有正负性；
- 电荷的量子性；
- 电荷的守恒性；
- 电荷运动不变性.
库仑定律 电力叠加原理
库仑定律
真空中两个静止点电荷之间的相互作用电力，其方向沿着两个点电荷的连线，同种相斥，异种相吸；其大小与两个点电荷的带电量\(q_1,q_2\)的乘积成正比，和距离的平方成反比，以矢量形式表示为：
\[\vec{F}=k\dfrac{q_1q_2}{r^2}\vec{e_r},\]
引入另一常量\(\varepsilon_0\)，其称为真空介电常数，使得\(k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\)，则上式还可以表示为：
\[\vec{F}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{e_r}.\]
电力叠加原理
某个点电荷受到来自其他的点电荷的总静电力应等于所有其他点电荷单租作用力的矢量和.这一结论称为电力叠加原理.数学表示如下：
\[
F=\sum_{j\neq i}F_j=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{j\neq i}\dfrac{q_iq_j}{r_j^2}\vec{e_j}.
\]
电场强度
电场
电场是客观存在的一种物质，静电力通过电场传递，并且静电力是一种短距作用力.
电场强度
选用一试验电荷来计算电场强度，对于试验电荷有要求：其电量必须很小，以避免其对源电荷的电场产生影响；其几何尺度也必须很小，以至于可以成为名副其实的点电荷.这样，电场强度的计算公式可以写作：
\[\vec{E}=\dfrac{\vec{F}}{q_0}=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{e_r}.\]
对于点电荷系，其在某一点的场强等于各个点电荷在该点场强的矢量和，这称为场强叠加原理.
在真空中：\(\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0\)点电荷电场在场源处散度不为0，非场源处散度为0.
在任何情况下：\(\vec{\nabla}\times\vec{E}=0\)点电荷电场在空间任意位置旋度为0，即点电荷电场是无旋场.
连续分布电荷电场的电场强度
计算这类问题，我们把场源电荷看做无限多小的电荷元\(\textrm{d}q\)，计算出其产生的场强\(\textrm{d}E\)，于是我们有：
\[
\textrm{d}E=\dfrac{\textrm{d}q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{e_r},
\]
然后对两端积分即可.
特殊的场源电荷
带电直线
一均匀的带电直线，长为\(L\)，电量为\(q\)，线外任意一点\(P\)离开直线的垂直距离为\(d\)，并且\(P\)点与直线两端连线与直线的夹角分别为\(\theta_1\)和\(\theta_2\).则\(P\)点的场强为
\[
\begin{cases}
E_x=\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon _0 d}(\sin\theta _2-\sin\theta _1),\\
E_y=\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon _0 d}(\cos\theta _2-\cos\theta _1).
\end{cases}
\]
带电圆环
半径为\(R\)的均匀带电圆环，电量为\(q\).则轴线上坐标为\(x\)的场强为
\[
E=\dfrac{qx}{4\pi\varepsilon _0(x^2+R^2)^\frac{3}{2}}.
\]
带电圆盘
一均匀带电的带电圆盘，半径为\(R\)，面电荷密度为\(\sigma\)，则在其轴线上\(x\)坐标处的场强为
\[
E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon _0}[1-\dfrac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}].
\]
当\(x\ll R\)时，可以视作圆盘平面无限大，此时电场强度
\[
E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon _0},
\]
其可以看做带电薄板附近的匀强电场长度，此时带电板的性状可以忽略.另外的，若\(x\gg R\)，则根据泰勒展开有
\[
\begin{align*}
E&=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon _0}\big[1-\dfrac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\big]\\
&=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon _0}\bigg[1-\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{R^2}{x^2}}}\bigg]\\
&=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon _0}[1-(1-\dfrac{1}{2}(\dfrac{R^2}{x^2})+\dfrac{3}{8}(\dfrac{R^2}{x^2})^2)-\cdots]\\
&=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon _0}(\dfrac{1}{2}\dfrac{R^2}{x^2})\\
&=\dfrac{\sigma R^2}{4\varepsilon _0x^2}=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon _0x^2}.
\end{align*}
\]
此时就可以将其看成点电荷处理了.
高斯定理
电场线和电通量
电场线
电场线在某处的切线方向代表该点的电场方向，电场线的密度正比于该点的场强大小，即：
\[
E\propto \dfrac{\textrm{d}N}{\textrm{d}S}.
\]
\(E\)通量
\(E\)通量定义为
\[
\textrm{d}\varPhi=\vec{E}\cdot e_\textrm{n}\textrm{d}S,
\]
于是对于整个曲面\(S\)，有
\[
\varPhi=\int_{S}\vec{E}\cdot e_\textrm{n}\textrm{d}S.
\]
高斯定理
内容
在真空中的电场内，通过任一闭合曲面的\(E\)通量等于这闭合曲面所包含的电量代数和的\(\dfrac{1}{\varepsilon _0}\)倍，数学表达式为
\[
\bigcirc\kern{-13.5pt}\int\kern{-7.2pt}\int _{S} \vec{E}\cdot\textrm{d}\vec{S}=
\begin{cases}
\displaystyle\sum_{i}\displaystyle\dfrac{q}{\varepsilon _0},\quad\text{(不连续分布源电荷)}\\
\displaystyle\iiint_{V}\displaystyle\dfrac{\rho}{\varepsilon _0}\textrm{d}V.\quad\text{(连续分布源电荷)}
\end{cases}
\]
微分形式
对于任意分布的场\(E(x,y,z)\)，我们可以求出电荷在空间中的分布情况.取单位体积\(\textrm{d}x\textrm{d}y\textrm{d}z\)，并取该单位体积的中心位坐标原点，此处电场强度为\(\boldsymbol{E}=(E_x,E_y,E_z)\).在\(x\)正方向垂直于\(x\)轴的面上，其通量为
\[
\textrm{d}\varPhi_R=(E_x+\dfrac{\partial E_x}{\partial x}\dfrac{\textrm{d}x}{2})\textrm{d}y\textrm{d}z,
\]
在\(x\)负方向垂直于\(x\)轴的面上其通量为
\[
\textrm{d}\varPhi_L=-(E_x-\dfrac{\partial E_x}{\partial x}\dfrac{\textrm{d}x}{2})\textrm{d}y\textrm{d}z,
\]
故\(x\)方向上总通量为
\[
\textrm{d}\varPhi_x=\textrm{d}\varPhi_R+\textrm{d}\varPhi_R=\dfrac{\partial E_x}{\partial x}\textrm{d}x\textrm{d}y\textrm{d}z.
\]
同理可知：
\[
\textrm{d}\varPhi_y=\dfrac{\partial E_y}{\partial y}\textrm{d}x\textrm{d}y\textrm{d}z,
\]
\[
\textrm{d}\varPhi_z=\dfrac{\partial E_z}{\partial z}\textrm{d}x\textrm{d}y\textrm{d}z.
\]
于是，
\[
\textrm{d}\varPhi=\sum_{i=1}^{3}\textrm{d}\varPhi_{i}=(\dfrac{\partial E_x}{\partial x}+\dfrac{\partial E_y}{\partial y}+\dfrac{\partial E_z}{\partial z})\textrm{d}x\textrm{d}y\textrm{d}z.
\]
根据高斯定理，有
\[
\textrm{d}\varPhi=\dfrac{\rho\textrm{d}x\textrm{d}y\textrm{d}z}{\varepsilon _0},
\]
于是，得到
\[
\dfrac{\rho}{\varepsilon _0}=\dfrac{\partial E_x}{\partial x}+\dfrac{\partial E_y}{\partial y}+\dfrac{\partial E_z}{\partial z},
\]
也即
\[
\nabla\cdot\vec{E}=\rho\varepsilon _0.
\]
上述就是高斯定理的微分形式. 它表明了空间某一点上电场强度\(\boldsymbol{E}\)与该点电荷密度\(\rho\)的关系.
环路定理，电势
环路定理
在静电场中，电场强度沿着任意闭合路径的环流为零，即
\[
\oint _l\vec{E}\cdot \textrm{d}\vec{l}=0.
\]
当场源电荷是单一点电荷时，证明方法与引力势能证明方法类似；当场源电荷为点电荷系时，可利用电力叠加原理；连续的场源电荷也可看做许多微小电荷处理.具体证明略.
由环路定理，我们可以做出以下的推导：
\[
\oint _l\vec{F}\cdot\textrm{d}\vec{l}=\oint _lq_0\vec{E}\cdot\textrm{d}\vec{l}=q_0\oint _l\vec{E}\cdot\textrm{d}\vec{l}=0.
\]
由此可见，环路定理意味着静电场是保守场.
由Stokes定理，即
\[
\oint _{\text{margin}}\vec{A}\cdot\textrm{d}\vec{l}=\iint_{\text{surface}}\nabla\times\vec{A}\cdot\textrm{d}\vec{S},
\]
可知对于满足环路定理的静电场而言，有
\[
\nabla\times\vec{A}=0.
\]
这种场我们称为无旋场，上述式子我们也称为是环路定理的微分形式.
电势
电势差
电势是由电场中某一点的位置确定的标量函数，两点间的电势差记作：
\[
V_{ab}=-(V_b-V_a)=\int_{a}^{b}\boldsymbol{E}\cdot\textrm{d}\boldsymbol{l}.
\]
电势沿着电场线的方向降低.
电势零点
为了给出静电场中各点的电势值，需要选定一个参考位置，并且指定其电势为零，称为电势零点.若用\(P_0\)表示电势零点，则任意一点\(P\)的电势为
\[
V_P=\int_{P}^{P_0}\boldsymbol{E}\cdot\textrm{d}\boldsymbol{l},
\]
即电场中\(P\)点的电势等于将单位正电荷自\(P\)点沿着任意路径移动到电势零点\(P_0\)过程中电场力所做的功.
一般而言，我们选取无穷远处作为电势零点.
电势的计算
定义法
见电势的定义.
电势叠加原理
我们作以下推导：
\[
\begin{align*}
V&=\int_{P}^{+\infty}\boldsymbol{E}\cdot\textrm{d}\boldsymbol{l}\\
&=\int_{P}^{+\infty}\sum_{i}\boldsymbol{E}_i\cdot\textrm{d}\boldsymbol{l}\\
&=\sum_{i}\int_{P}^{+\infty}\boldsymbol{E}_i\cdot\textrm{d}\boldsymbol{l}\\
&=\sum_{i}\boldsymbol{V}_i.
\end{align*}
\]
即点电荷系电场在某场点的电势等于各个点电荷电场在同一场点的电势的代数和，这称为电势叠加原理.
常见的电势
均匀圆环：半径为\(R\)，均匀带电为\(q\)的细圆环轴线上任意一点的电势为
\[
V_x=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon _0\sqrt{R^2+x^2}}.
\]
均匀球壳：半径为\(R\)，总电量为\(q\)的均匀带电球面的电势分布为
\[
V_r=\begin{cases}
\dfrac{q}{4\pi\varepsilon _0 r},\quad r\geqslant R\\
\dfrac{q}{4\pi\varepsilon _0 R}.\quad r<R
\end{cases}
\]
均匀球体：电荷\(q\)均匀分布在半径为\(R\)的球体内，空间中的电势分布为
\[
V_r=\begin{cases}
\dfrac{q(3R^2-r^2)}{8\pi\varepsilon _0R^3},\quad r\leqslant R\\
\dfrac{q}{4\pi\varepsilon _0r}.\quad r>R
\end{cases}
\]
等势面、电势梯度
等势面的性质
等势面具有如下性质：
-
电荷在等势面上移动时，电场力不做功；
-
电场强度与等势面正交，电场线垂直于等势面；
-
相邻等势面间距小处，场强大；间距大处，场强小.
电势梯度
由于我们有关系
\[
-(V_B-V_A)=\int_A^B \boldsymbol{E}\cdot\textrm{d}\boldsymbol{l},
\]
考虑微分运算得
\[
-\textrm{d}V=\boldsymbol{E}\cdot\textrm{d}\boldsymbol{l}.
\]
取\(\boldsymbol{E}\)在\(l\)方向上的分量，那么我们有
\[
E=-\dfrac{\textrm{d}V}{\textrm{d}l},
\]
也就是说，电势在\(\textrm{d}l\)上的变化率就是电场强度在\(\textrm{d}l\)方向山的分量.
若取\(\boldsymbol{e}_n\)方向，则我们有
\[
\boldsymbol{E}=-\dfrac{\partial V}{\partial \boldsymbol{l}_n},
\]
其中我们称\(\dfrac{\partial V}{\partial \boldsymbol{l}_n}\)为电势梯度，是一个矢量，方向指向电势增加的方向.上式告诉我们，电势梯度的大小就是电场强度的大小，两者方向相反.
引入微分算符，上式还可以表示为
\[
\boldsymbol{E}=-\nabla V.
\]
因此，我们总结场强\(\boldsymbol{E}\)和电势\(V\)的关系如下：
\[
\begin{cases}
V=\displaystyle\int_P^{P_0}\boldsymbol{E}\cdot\textrm{d}\boldsymbol{l},\\
\boldsymbol{E}=-\nabla V.
\end{cases}
\]
电偶极子
定义
两个带等量异号电荷的点电荷相距为\(l\)，而\(l\)又相较于问题中所涉及的距离小得多，这一对点电荷称为电偶极子.连接两电荷的直线称为电偶极子的轴长，将从负电荷到正电荷的距离矢量\(\vec{l}\)与电荷\(q\)的乘积称为电矩，记作
\[
\vec{p}=q\vec{l}.
\]
电偶极子产生的电势和场强
对于点电荷为\(q\)和\(-q\)的电偶极子，其在空间中某点\((r,\theta)\)产生的电势表示为
\[
V=\dfrac{\vec{p}\cdot \vec{r}}{4\pi\varepsilon _0r^3}.
\]
故而可算出其空间中产生的场强
\[
E_r=-\dfrac{\partial V}{\partial r}=\dfrac{p\cos \theta}{2\pi\varepsilon _0r^3},
\]
\[
E_\theta=-\dfrac{\partial V}{r\partial \theta}=\dfrac{p\sin \theta}{4\pi\varepsilon _0r^3}.
\]
电偶极子在匀强电场中的特征
在匀强电场\(\vec{E}\)中，以其负点电荷为参考点受到的力矩为
\[
\vec{M}=\vec{l}\times\vec{F}=q\vec{l}\times\vec{E}=\vec{p}\times\vec{E}.
\]
也就是说，电偶极子的电矩在电场中有朝向电场方向的趋势.
其在电场中具有的电势能为
\[
E=qV_{+}-qV_{-}=q(V_{+}-V_{-})=-q\int_{-}^{+}\boldsymbol{E}\cdot\textrm{d}\boldsymbol{l}=-qEL\cos\theta=-\vec{p}\cdot\vec{E}.
\]
电偶极子在非匀强电场的特征
非匀强电场中，电偶极子的力矩依然满足：
\[
\vec{M}=\vec{p}\times\vec{E}.
\]
考虑电偶极子的受力情况，选取空间中任意一点为参考点，其到电偶极子负点电荷的方向矢量记作\(\vec{r}\)，那么：
\[
\begin{align*}
\vec{F}&=-q\vec{E}_{\vec{r}}+q\vec{E}_{\vec{r}+\vec{l}}\\
&=q(\vec{E}_{\vec{r}+\vec{l}}-\vec{E}_{\vec{r}})\\
&=q\vec{l}\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial \vec{l}}\\
&=(\vec{p}\cdot \nabla)\vec{E}.
\end{align*}
\]
上述就是电偶极子在非匀强电场中的受力情况.
最后更新:
March 12, 2023
创建日期:
March 12, 2023