刚体的平面运动学⚓︎

刚体平面运动的描述⚓︎

想要描述一个刚体的状态，需要同时描述其位置与姿态，而对于刚体位置与姿态的描述，又可以用特定参考基之间的关系来描述。

刚体运动的坐标基⚓︎

刚体平面运动常常用到三个不同的坐标基

参考基：固结在选定参考物体（地面或者其他刚体）的坐标基，基点为O，记作\(e^{r}\)

连体基：以刚体上一点C为基点构造的，固结于刚体上的坐标基，记为\(e^{b}\)

平移参考基：基点为刚体上一点C，但矢量基与参考基分别平行的坐标基，记为\(e^{s}\)

刚体运动的描述方法⚓︎

刚体在参考基下的位置与姿态，称为刚体相对于参考基的位形

刚体对于参考基的位形和连体基对于参考基的位形一致，因此只要研究连体基的位形即可。

其中，连体基的姿态可以用方向余弦阵表示，而连体基的位置可以用连体基基点的位矢表示。

刚体平面运动的数学描述⚓︎

如果刚体内部任意一点与某固定的参考平面的距离始终保持不变，那么称此运动为刚体的平面运动，将作平面运动刚体的刚性投影面简称为平面刚体

对于平面刚体，其位置需要两个标量描述，分别为x坐标与y坐标，其姿态需要一个标量描述，为连体基和参考基之间的姿态角

定义列阵

为刚体的位形坐标阵或者简称为刚体的坐标阵

刚体的坐标阵可以从数学角度定量的描述刚体在空间中的位形

进一步的

将列阵

称为位形坐标的时间历程

值得一提的是，刚体上的连体基的选取是任意的，无论选取哪个连体基，其描述的刚体的位形都是一致的且彼此之间可以相互转换，但是不同连体基的时间历程是不一样的

常见的刚体平面运动⚓︎

平移运动⚓︎

刚体在平移运动时，姿态角保持不变，即

因此，刚体平移运动的时间历程可以表示为：

定轴转动⚓︎

空间中某一点相对于参考基静止，且刚体绕这过这一点且垂直于平面的轴旋转，这样的运动称为刚体的定轴转动

一般而言，在任意时刻，如果刚体上有至少两点与参考基中一点具体不变，则刚体做定轴转动

对于定轴转动而言，取固定点作为基点C，则总是满足：

因此，对于刚体定轴转动的时间历程，可以表示为：

一般运动⚓︎

对于刚体的一般运动，由于刚体的平移和转动是相互无关的，因此任意一个一般运动可以分解为平移和定轴转动的和运动，不仅如此，这两种运动可以不同时进行，可以先平动再转动或者反过来进行

对于一般运动的数学表示，常常借助平动参考基来完成，平动参考基的平移表示刚体的平移，连体基相对平动参考基的姿态角对应连体基的姿态角

如果要表示成数学形式，则有：

刚体的姿态变化⚓︎

刚体的角速度与加速度⚓︎

对于刚体转动的描述，可以归结于其相对于基点的定轴转动的描述

将刚体姿态角对时间的导数，称为刚体的角速度，即：

角速度有对应的矢量，其方向可以由右手定则确定，垂直于转动平面

将刚体角速度对时间的导数定义为角加速度

角加速度也有对应的矢量，其方向可以由右手定则确定，垂直于转动平面，与角速度矢量同向

虽然连体基的选取是任意的，但是无论对于哪个连体基，刚体转动的角速度和角加速度都是一致的，即刚体的角速度与角加速度不依赖于连体基

连体基上矢量对时间的导数⚓︎

基矢量对于时间的导数⚓︎

对于建立于基点的平动参考基r和建立于刚体上的连体基b

基矢量对时间的导数垂直于当前基矢量的方向，且其大小为转动的角速度

任意矢量对于时间的导数⚓︎

\(\vec{b}\)是定义在连体基r上的一个矢量，另外还有定义在基点处的平动参考基b

则在参考基r上观测矢量对于时间的求导，与在参考基b上观测矢量对时间的求导之间有如下关系：

这其实就是对于平动基的求导等价于对于连体基的求导加上角速度的影响项

角速度叠加原理⚓︎

角速度叠加原理，即基b对于基r的角速度，等于基b相当于基u的角速度与基u相对于基r的角速度的矢量叠加，写成数学形式为：

如果是平面上的转动问题，由于所有的角速度方向一致，特别的有：

进而

为刚体的位形坐标阵或者简称为刚体的坐标阵

刚体的坐标阵可以从数学角度定量的描述刚体在空间中的位形

进一步的

将列阵

称为位形坐标的时间历程

值得一提的是，刚体上的连体基的选取是任意的，无论选取哪个连体基，其描述的刚体的位形都是一致的且彼此之间可以相互转换，但是不同连体基的时间历程是不一样的

常见的刚体平面运动⚓︎

平移运动⚓︎

刚体在平移运动时，姿态角保持不变，即

因此，刚体平移运动的时间历程可以表示为：

定轴转动⚓︎

空间中某一点相对于参考基静止，且刚体绕这过这一点且垂直于平面的轴旋转，这样的运动称为刚体的定轴转动

一般而言，在任意时刻，如果刚体上有至少两点与参考基中一点具体不变，则刚体做定轴转动

对于定轴转动而言，取固定点作为基点C，则总是满足：

因此，对于刚体定轴转动的时间历程，可以表示为：

一般运动⚓︎

对于刚体的一般运动，由于刚体的平移和转动是相互无关的，因此任意一个一般运动可以分解为平移和定轴转动的和运动，不仅如此，这两种运动可以不同时进行，可以先平动再转动或者反过来进行

对于一般运动的数学表示，常常借助平动参考基来完成，平动参考基的平移表示刚体的平移，连体基相对平动参考基的姿态角对应连体基的姿态角

如果要表示成数学形式，则有：

刚体的位置变化⚓︎

刚体基点的位置变化⚓︎

位置⚓︎

刚体的位置可以用其位矢描述，即\(\vec{r}_c\)

写作坐标式为：\(\vec{r}_c=(x_c,y_c)^T\)

将其关于时间变化的形式\(\vec{r}_c(t)=(x_c(t),y_c(t))^T\)称为刚体基点的绝对轨迹

速度与加速度⚓︎

刚体基点的速度和加速度可以分别用刚体基点位矢对于时间的一阶和二阶导数来表示，即

如果表示为坐标阵的形式，则为

刚体上定点的位置、速度和加速度⚓︎

在之后的讨论中，做出如下前提定义与假设，假设P是固定在刚体上的一点；定义地面绝对参考基为参考基r；定义连体基为参考基b；在任意时刻，刚体的位形坐标已知，即\(q=(x_c,y_c,\varphi)^T\)；固定点在连体基中的坐标已知，即\(\rho_p=(x_p',y_p')^T\)

基于以上的定义与假设，对刚体上定点的平动特性从下述角度进行分析

刚体定点的位置⚓︎

根据几何关系，有\(\vec{r}_p^r=\vec{r}_c+\vec{\rho}_p\)

根据坐标之间的转化关系，则有：

将其展开，有：

从上式中，不难看出，只要刚体的位形确定，定点与刚体基点的位置确定，则刚体的绝对位置也确定

刚体上定点的速度⚓︎

根据之前的位矢关系，进行求导得

根据上式，将\(\vec{v}_c^r\)定义为平动牵连速度，记为\(\vec{v}_{tp}^e\)，将\(\vec{\omega}\times\vec{r}_p\)定义为转动牵连速度，记为\(\vec{v}_{\omega p}^e\)，将\(\vec{v}^e=\vec{v}_{tp}^e+\vec{v}_{\omega p}^e\)

刚体加速度⚓︎

对刚体的速度矢量关系式求导，可得：

特别的，如果刚体作平动，则有

如果刚体定轴转动，则有：

称\(\boldsymbol{a_c}\)为平移牵连加速度，记为\(\boldsymbol{a}_{tp}^e\)

称\(\boldsymbol{\alpha}\times \rho_p\)为转动牵连切向加速度，记为\(\boldsymbol{a}_{\alpha p}^e\)

称\(\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times \rho_p)\)为转动牵连法向加速度，记为\(\boldsymbol{a}_{\omega p}^e\)

对于刚体上固结的一点，其牵连加速度就是其绝对加速度

刚体的瞬时速度中心⚓︎

定义⚓︎

在任意时刻，刚体上速度为0的点称为刚体的瞬时速度中心，简称为瞬心

对于运动的刚体，其运动总是可以看做围绕着瞬心的定轴转动，通过这种等效计算出来的刚体上某一点的速度，与其绝对速度相等

瞬心位置的确定⚓︎

第一种方法是根据实际结论，比如纯滚动轮与地面接触点的速度总为0，这一点一定是刚体的瞬心

第二种方法是通过两个速度方向确定。如果已知两个速度的方向，则作两个速度方向的垂线，其交点就是刚体运动的瞬心

特别的，如果刚体上存在两点速度完全相等（方向平行，大小相等），则刚体作瞬时平动，不存在瞬心。

相对刚体运动点的运动描述⚓︎

动点位置⚓︎

动点的位置满足：

对于位置的描述，相对运动的点和相对固结的点具有相同的描述方式

动点的速度⚓︎

对上述的位置关系求导可得速度描述：

\(\boldsymbol{v}_p^r\)是该点相对于连体基的速度（注意，这一项在固结的点的速度描述时为0）

\(\boldsymbol{v}_c\)是该点的平动牵连速度

\(\boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{\rho_p}\)是该点的转动牵连速度

平动牵连速度和转动牵连速度的和称为牵连速度

因此，根据意义，速度可以描述为：

即，绝对速度等于牵连速度与相对速度的和，相比固结于刚体上的一点，相对刚体运动的点的速度额外增加了一项相对速度

动点的加速度⚓︎

对速度关系式求导，可得加速度关系式：

定义\(2\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v}_p^r\)为科氏加速度，记为\(\boldsymbol{a}_p^c\)

因此，根据物理意义，可以写作：

刚体系运动学⚓︎

刚体系位形的描述、约束方程⚓︎

刚体系位形的描述⚓︎

描述刚体系的位形，需要一个公共参考基以及与刚体数目相同的连体基。

对于每一个刚体\(B_i\)，都有其单独的一个位形坐标阵\(\boldsymbol{q}_i=(x_i,y_i,\varphi_i)^T\)，将这些坐标阵组集在一起，就构成了描述刚体系的坐标阵：

这些坐标都针对同一参考基，称为刚体系的笛卡尔坐标阵

一般而言，对于有N个刚体的刚体系，其笛卡尔坐标阵中包含\(n=3N\)个未知量。

笛卡尔坐标阵是描述刚体系最基本、最标准化的方法，但并不是唯一的表示办法。有时候，也可以对将下一刚体的绝对位置坐标，替换为在上一刚体连体基中的相对位置坐标，这样往往能减少坐标阵中未知量的个数。

约束方程⚓︎

刚体间的联系⚓︎

刚体之间的关联主要可以分为两种

第一种是力的联系

两个刚体之间通过力的关系关联。这种关联对物体的约束是间接的，不会直接影响物体的运动，典型的例子是弹簧。

第二种是形的联系

两个刚体之间通过形体约束关联。这种关联对物体的约束是直接的，会直接影响物体的运动，典型的例子是铰接。

约束方程的定义⚓︎

由于刚体间形的约束，在运动过程中，描述它们的位形坐标不会完全的相互独立，而是相互之间满足一些关系，这种关系的解析表达形式称为位形约束方程，简称约束方程

一般而言，刚体的约束方程是关于n个位形坐标的非线性代数方程

约束方程的分类⚓︎

如果约束方程与速度无关，称为完整约束；如果约束方程与速度相关，称为非完整约束

如果约束方程与时间无关，称为定常约束；如果约束方程与时间无关，称为非定常约束

如果约束方程表示为等式，称为双面约束；如果约束方程表示为不等式，称为单面约束

自由度⚓︎

对于笛卡尔坐标阵，虽然需要n个未知量来描述，但是这n个未知量往往不是相互独立的，在刚体系位形坐标阵中，相互独立的未知量的个数称为系统的自由度

对于只含完整约束的刚体系，如果有n个未知量，s个约束方程，则系统的自由度为\(\delta=n-s\)

在坐标阵中，\(\delta\)个相互对立的变量记为\(w\)，\(s\)个非独立的变量记为\(u\)，因此，坐标阵也可以表示为\(\boldsymbol{q}=(w^T,u^T)^T\)

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