静力学⚓︎

力⚓︎

力和力系⚓︎

力的基本性质⚓︎

• 力对物体的作用效果取决于力的大小、方向和作用点.这称为力的三要素.

• 两个力作用于同一个点的效应可与作用点不变的一个力等效.该力称为两个力的合力，其大小与方向以两力的有向线段为边构成的平行四边形的对角线确定.

特殊情况下，作用于某点的两个力的大小相等、方向相反且其合力为零，称两力为平衡力系.

• 作用于同一刚体的两个力使其平衡的充要条件是两力处在同一直线上，且大小相等、方向相反.

这里强调刚体是有必要的.试想，可以通过对钢索两端施以向内的力时期平衡，但换成柔软的绳子，显然达不到这个效果.

• 在一个力系上施加一个平衡力系不改变原来的力系对刚体的作用效果.

根据这个原理，我们还可以得到一个推论：力在刚体上的作用点可以沿着作用线移动到刚体上的任意一点而不改变这个力对刚体的作用效果，这称为力的可传性.

这意味着，对于刚体而言，作用点是不重要的，我们可以将力的三要素中的作用点改成作用线.如此一来，我们无需考虑力的作用点，这种矢量称为滑移矢量.当作用物体不是刚体，则依然要考虑作用点，这种矢量称为定位矢量.

• 作用力与反作用力同时存在，大小相等、方向相反，沿同一作用线分别作用在不同物体上.

力系⚓︎

• 空间力系：作用线在三维空间分布的力系.
• 汇交力系：空间力系中所有力的作用线能相交于一个点的力系.
• 一般力系：其余情况.

汇交力系的合成⚓︎

对于具有\(n\)个力的汇交力系\((\vec{F}_1,\vec{F}_2,\dots,\vec{F}_n)\)，令其交汇点为\(O\).则该汇交力系的合力为

值得注意的是，汇交力系的合力和汇交力系的矢量和不是一个概念，前者代表一定位矢量(定位点为汇交点\(O\))，后者仅是数学表达，无物理意义.

力矩⚓︎

概念与定义⚓︎

作用在\(P\)点上的力\(\vec{F}\)对某点\(O\)的矩记作\(M_o(\vec{F})\)，定义为

其中，\(O\)称为力矩的矩心.

力矩的大小为\(Fr\sin \theta=Fd\),方向由右手定则确定

如果力的作用线恰好经过矩心，则力矩为0

力矩的坐标运算与力对轴的矩⚓︎

规定参考基\(\boldsymbol{\vec{e}}=(\vec{x},\vec{y},\vec{z})^T\)

根据\(\boldsymbol{M_0}=\boldsymbol{\widetilde{r}F}\)可得：

我们称三个标量坐标\(M_{Ox},M_{Oy},M_{Oz}\)分别为力F对\(Ox,Oy,Oz\)轴的力矩。相对轴的力矩可正可负，正表示与轴的正方向同向。

从上述式子中，很容易看出，力对于平行于其的轴的矩为0

注：力对于轴的矩和力对于点的矩虽然有密切的关联，但本质上是两个完全不同的概念。对于点的矩是一个矢量，而对于轴的矩是一个标量。

注：不难看出，力对于某一个轴的矩，其实就等于该力在与此轴垂直平面上的分力大小乘以轴到此分力作用线的距离，这与大学物理中介绍的计算方式是一致的。或者，在求出对某一点的力矩后，对给定的轴求力矩其上的投影大小.

力矩的正交分解⚓︎

力对于点O的力矩，等于其三个方向的分量对点O力矩的矢量和，即：

将上式进一步展开：

以对于z轴的矩为例：

由于\(F_z\)与\(z\)轴平行，故最后一项显然为0

在根据\(M_{Oz}=xF_y-yF_x\)，相互对照可得：

根据上述式子，可得如下结论

力对于与其垂直的某轴的矩，等于该力乘其到此轴的距离，正负号根据由力握向距离的右手定则指向的正负轴情况确定。

注：这里的力到轴的距离，应该理解为力的作用线与轴线之间的距离。

平面上的力矩⚓︎

平面上对于某一点的力矩，模等于其对于\(z\)轴的力矩，反向根据右手定则确定。

力偶⚓︎

基本概念⚓︎

将作用于刚体上的，大小相等，方向相反，作用线相互平行的一对力称为力偶。这两个力确定的平面称为力偶作用面，两个力的作用线的垂直距离\(d\)称为力偶臂。

性质⚓︎

力偶是最简单力系，即不可能用一个力来等效的代替力偶。

力偶取决于三个要素，分别是\(F\)对\(F'\)作用点的力矩大小，作用面的方位与力偶的转动方向。

力偶对于空间任何一点的力矩矢量和都是定值，与矩心的选择无关

力偶矩矢量⚓︎

将空间中一对力偶的两个力记为\(\vec{F_P}\)与\(\vec{F_Q}\)，他们的作用点分别为P点与Q点，则对于空间任意一点，力偶两个力的力矩矢量和都为定值\(\vec{r}_{QP}\times \vec{F}_P\)

由此，我们将该矢量定义为力偶(\(\vec{F_P},\vec{F_Q}\))的力偶矢量矩，简称力偶矩，记为\(\vec{M}\)，即：

对应坐标表示为：

\(\vec{M}\)的大小为\(Fd\)，方向由右手法则确定

力偶矩涵盖了力偶的三要素，因此可以用力偶矩来描述一对力偶

力偶矩是自由矢量，当力偶矩沿着其作用线移动或平行移动时不影响力偶对刚体作用的效果。

对于一对力偶，无论这一对力具体如何，只要其力偶矩相同，他们就会对刚体产生相同的作用效果，即他们是相互等价的。因此，在描述力偶时，只要画出力偶矩即可，对于两个力的具体情况，我们不关注。

力偶的合成⚓︎

和力偶的矢量，等于各个力偶的矢量和，这和力矩的合成几乎一致。其矩阵形式表示为

力的简化⚓︎

一般力系的简化⚓︎

力作用线的平移⚓︎

当力沿着作用线平移时，不会改变作用效果，这是滑移矢量的性质，但是如果将其平移，则会改变力对刚体的作用效果

对于一个任意的力，平移力的作用线，必须相应增加一个力偶才可能与原来的力等效，这一力偶的力偶矩矢量等于原力相对于平移后作用点的力矩，即：

力系的特征量⚓︎

主矢：力系所有力矢量的矢量和，即\(\vec{F}_R=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\vec{F}_i\)

不难看出，一个力系的主矢总是确定的。

主矩：选定任意一点\(O\)为矩心，空间中所有力对此点的力矩的矢量和称为该力系对点\(O\)的主矩，即：\(\vec{M}_0=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\vec{r}_i\times \vec{F}_i\)

很明显，主矩的具体值依赖于矩点的选择。

注：无论是主矢还是主矩，都是没有物理意义的数学量，虽然在记号上使用了物理的符号，但本质上不是物理量。

力系的简化⚓︎

对于空间中任意一个力系，可以将所有的力通过平移汇交于一点\(O\)，根据力作用线的平移规则，这一新的汇交力系加上一个力偶系的作用效果，将等价于原来的力系，即：

根据矢量的合成，汇交力系的力可以合成为一个合力，而空间的力偶矩也可以合成为一个合力偶矩，因此，空间力系最终可以简化为空间中一个力与一个力偶矩，即：

不仅如此，很容易得到，该力作用于点\(O\)且与主矢相等，该力偶矩与主矩相等，即：

力系简化的最简结果⚓︎

力系向不同简化中心的简化⚓︎

对于不同的简化中心，得到的合力都相等，但是得到的合力偶矩不相等，他们分别满足如下关系：

考虑其特征量的关系：

进一步，可得：

即对于两个不同简化中心，其特征量的乘积总相等

力系简化的结果⚓︎

根据上述关系，我们可以对力系进行分类，并分别讨论每一种分类下，力系化简的结果

（1）当\(\vec{F}_o=0\)，\(\vec{M}^o=0\)时

易得，\(\vec{F}_c=0\)，\(\vec{M}^c=0\)成立

这种简化结果称为力系平衡

其简化结果与简化中心无关，而且满足：

即主矢为0，对任意一点主矩为0。

（2）当\(\vec{F}_o=0\)，\(\vec{M}^o\neq0\)时

易得，\(\vec{F}_c=0\)，\(\vec{M}^c=\vec{M}^o\)

这种力系最终简化为一个合力偶，其结果与简化中心无关，且满足：

即主矢为0，对任意一点主矩都相等且不为0。

（3）当\(\vec{F}_o\neq0\)，\(\vec{M}^o=0\)时

易得：\(\vec{F}_c=\vec{F}_o\)，\(\vec{M}^c=\vec{r}_{co}\times\vec{F}_o\neq \vec{M}^0\)

这种力系最终可以在某些特定点简化为一个单独的合力，其结果与简化中心有关

（4）当\(\vec{F}_o\neq0\)，\(\vec{M}^o\neq 0\)且\(\vec{F}_0\vec{M}^o\neq 0\)时，

这样的力系还可以进一步简化

选取合适的\(C\)点，则\(\vec{F}_o\)对于\(C\)点产生的力矩可以抵消\(\vec{M}_o\)在垂直于\(\vec{F}_o\)方向上的分量，在这种情况下，有：

其中，\(\theta\)表示\(\vec{F}_o\)与\(\vec{M}_o\)之间的夹角

这样，简化的结果是一对相互平行的力和力偶矩，这样的结果称为力螺旋。

（5）当\(\vec{F}_o\neq0\)，\(\vec{M}^o = 0\)时

不难看出，这一情况实际就是（3）反向情况

其最终可以简化为作用于某一点\(C\)的合力

要达成这种简化，\(\vec{r}_{oc}\)应同时垂直于\(\vec{F}^o\)和\(\vec{M}^o\)平面，并且其大小满足一下规律：

平行力系的简化⚓︎

平行力系的中心⚓︎

对于平行力系，有\(\vec{F_i}=F_i\vec{b}\)，很容易可以算出其主矢和主矩分别为：

很显然，任何时候，主矩和主矢都是垂直的，即总是满足\(\vec{M}_o\cdot \vec{F}_R=0\)

这说明，平衡力系只可能简化为平衡，单一力偶或者单一合力的情况。

如果平行力系可以简化为一个合力的形式，则此合力的作用点称为平行力系的中心。

中心的位置可以通过如下方式计算：

重心⚓︎

重力系是典型的平衡力系，一个刚体的重心，就是这个刚体重力系的中心。

平面力系的简化⚓︎

对于所有力均处于同一平面的力系，称为平面力系。

对于平面力系而言，所有力的合力总是在平面内，而平移产生的合力偶矩，总是垂直于平面，这意味着\(\vec{M}\cdot\vec{F}=0\)

根据之前讨论的更加一般的情况下的力系的简化，平面力系简化的结果只存在三种可能：平衡，合力，合力偶，无论如何都不可能出现力螺旋对应的情况。

约束⚓︎

约束与约束力⚓︎

• 自由物体（自由体）：在空间中位置不受限制的研究对象；

• 相反的，将在空间中位置受到限制的研究对象称为非自由物体（非自由体），

• 约束：对于非自由体，对他运动的限制称为约束；

• 主动力：自由体在自由状态下运动所受到的力；

• 约束力：约束对非自由体产生的作用力，又称为约束反力；

• 理想约束力：限制了物体运动可能性的力；

• 非理想约束力：对于不对物体的运动可能性产生限制的力；

• 理想约束：由于分析时，我们只关注起限制作用的部分力，因此建立一种只包含理想约束力的物理模型，这种只包含理想约束力的约束，称为理想约束。

常见理想约束模型⚓︎

柔索约束⚓︎

• 柔索约束限制对象沿索方向伸长的趋势

• 柔索的约束力作用于索与物体的接触点，方向沿索背离物体

• 柔索只能限制物体沿索伸长的趋势而不能限制物体沿索缩短的趋势，这种约束也称为单面约束

支撑面约束⚓︎

• 支撑面约束限制物体沿公法线方向向下运动的趋势

• 支撑面约束力作用于物体与支撑面的交点，方向沿公法线方向向物体被限制运动的反方向

• 支撑面约束也是单面约束

平面圆柱铰⚓︎

• 平面圆柱铰在实际中由三部分构成，但是简化为物理模型后，仅由轴套和带轴销构成。

• 不考虑部件垂直于截面的运动（即沿着轴线方向的运动），不考虑沿截面内任一轴的转动

• 约束力总是经过轴心，并且总是可以正交分解为x,y方向的两个力，即\(\vec{F}=(\vec{F}_x,\vec{F}_y)\)；通过调节这两个分力大小与方向，可以表示所有的情况

平面滑移约束⚓︎

• 平面滑移约束限制物体的垂直运动与转动，仅允许物体的水平移动

• 平面滑移约束的受力分析可以看做一个平面力系

• 约束力可以简化为一个力与一个力偶，分别阻止了物体的垂直移动与转动

• 如果不关注被约束物体的姿态，可以将其看做一个质点分析

齿轮副约束⚓︎

• 齿轮副约束是面接触约束，限制了啮合齿在接触面公法线方向上的运动趋势

• 约束力的方向沿过接触点的公法线方向，与相对运动方向相反

• 节圆公切线与公法线之间存在一个夹角\(\theta\)，这一夹角称为啮合角

• 如果对约束力进行沿啮合公切线以及其垂直方向的正交分解为\(\vec{F}_x\)，\(\vec{F}_y\)，则显然，这两个分离可以通过啮合角联系起来，即确定一个分量，则可以确定另一个分量

• 纯滚动可以看做一种特殊的齿轮副约束，但是需要注意的是，纯滚动的分力\(\vec{F}_x\)，\(\vec{F}_y\)不在有必然的联系，需要单独计算

固定端约束⚓︎

• 非自由体与其约束物体固定在一起的约束称为固定端约束

• 固定端约束限制被约束物体任意方向的移动与转动

• 对于固定端约束，可以用三个方向的三个力和力偶来描述

球铰约束⚓︎

• 球铰约束由球壳和带球杆组成

• 球铰约束限制了带球杆任何方向的移动，但是不限制带球杆任意方向的转动

• 球铰约束的约束力也应该分解为三个方向的分力来分析

二力杆⚓︎

• 二力杆有一根杆和两个球铰组成，对不计质量的轻杆，整个系统只受到两个约束力的作用，这种构件称为二力杆

• 如果二力杆系统处于平衡状态，必定大小相同，方向相反且共线

力系的平衡⚓︎

力系的平衡方程⚓︎

从最一般的角度来讲，空间力系的平行条件可以归结为两条

• 力系的主矢为零

• 力系对于任意一点的主矩为零

对于不同的力系，这两个条件会有不同的变化，具体细分的情况在下面讨论。

空间力系⚓︎

对于空间的一般力系，只能直接应用力系平衡的条件

假设空间两点\(A,B\)，力系对两点的合力矩分别为\(M_A\)和\(M_B\)，力系的合力为\(F_R\)

则将\(\vec{F}_R=0,\vec{M}_A=0,\vec{M}_B=0\)三个矢量条件式分解到三个方向，可以得到9个标量式，分别是:

根据空间力系简化中，集中于两个简化中心的力矩的关系，不难得出，在上述9个方程中，只有6个是彼此无关的。因此，只要选取6个合适的方程即可描述力系的平衡条件。

如果选取(1)(2)两组共六个无关方程作为描述平行力系的方程，则这六个方程称为平衡方程

如果选取(2)(3)两组，则这六个方程称为六矩式平衡方程

空间汇交力系⚓︎

汇交力系在对汇交点简化时，必然有主矩为零，因此只要主矢为零即可。

由此，空间汇交力系的平衡方程，是3个关于力的标量方程。

空间力偶系⚓︎

空间了力偶系的主矢为零，只要主矩为零即可。

由此，空间力偶系的平衡方程，是3个关于力矩的标量方程。

空间平行力系⚓︎

对于空间平行力系，在与平行维度垂直的其他两个维度上的合力一定为零，对于平行维度的力矩分量一定为零，这样就少了3个方程

因此，空间平行力系的平衡方程，是1个关于力的标量方程和两个关于矩的标量方程

当然，也可以在针对两个不同点的力矩的共4个方程中选取三个相互独立的方程，如果这样表示，那这组方程称为三矩式

平面力系⚓︎

对于平面力系，力只有两个维度需要平衡，矩只有两个维度需要平衡

因此，平行力矩的平衡方程，是两个关于力的标量方程和一个关于力矩的标量方程

静定和静不定⚓︎

如果平衡力系的未知数个数等于可列方程数，这类问题称为静定问题

如果平衡力系的未知数个数多余可列方程数，这类问题称为静不定问题

刚体系的平衡⚓︎

对于多个刚体的刚体系，在研究其平衡问题时，一般要同时运用正题分析与隔离分析的方法。

一般而言，整体分析时，通常是一个静不定问题，这时应对各个部位隔离分析，通过局部的静定问题减少整体分析时的未知数个数，达到解决问题的目的。

摩擦与摩擦力⚓︎

滑动摩擦力⚓︎

干摩擦⚓︎

当物体与物体之间相对滑动或者有相对滑动趋势的时候就会产生滑动摩擦力。

作用于静止物体上的摩擦力，称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力。

静摩擦力有一个极限值，称为极限静滑动摩擦力，简称极限摩擦力。

库伦摩擦定律：在其他条件相同的情况下，极限摩擦力的大小\(F_m\)与接触物体间的理想约束力\(F_N\)成正比，即

其中，\(f_s\)称为静摩擦因数

作用于运动物体上的摩擦力，称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力。

与动摩擦相似的，其可以表示为

其中，\(f\)称为动摩擦因数。

满足上述这些条件的摩擦力，称为干摩擦力，或者库伦摩擦力。

在工程中，由于润滑剂等物质的存在，还有另一种摩擦力，称为黏性摩擦，其满足：

其中比例常数c称为黏性摩擦系数。

摩擦角⚓︎

当摩擦力为极限摩擦力时，合力的极限位置与接触面法线的夹角称为摩擦角，记为\(\varphi_m\)

摩擦角的数值具有实际的意义，\(\tan \varphi_m=\dfrac{F_m}{F_N}=f_s\)，即摩擦角的正切值等于静摩擦因数。

摩擦角有一重要的实际应用：

当主动力的合力落在摩擦角的范围内时，无论其多大，物体都不可能开始运动，这种现象称为摩擦自锁。

粘性摩擦⚓︎

工程实际中，在物体发生滑动摩擦的界面上，往往会使用润滑剂，这就是涉及到了另一种摩擦力。

发生在有润滑的界面之间的摩擦力称为粘性摩擦。

对于粘性摩擦，由于润滑剂的存在，通常极限摩擦力很小，动摩擦力与物体相对运动的速度成正比，方向与相对速度相反，即：

其中比例常数c称为粘性摩擦系数。

滚动摩擦力⚓︎

滚动摩擦的本质，是接触物体局部的形变。虽然叫摩擦力，但是滚动摩擦力其实是一组力系，不过在实际分析时还是简化到作用于地面接触点的力与一个力矩。

分析滑动摩擦力时，除了理想约束力，还有一个水平摩擦力\(F_f\)和一个力偶\(M_f\)。水平摩擦力和滑动摩擦力有相同的性质，力偶是滚动摩擦所特有的，称为滚动阻力力偶。

在外力不太大的时候，无论是力还是力偶，都可以是用平衡条件计算。

对于滚动摩擦，存在两种临界，一种是滑动临界，一种是滚动临界。

对于滑动临界，要求\(F=F_m=F_f=f_sF_N\)

对于滚动临界，要求\(M_f=M_m=F\cdot r=\delta F_N\)

一般而言，滚动临界优先于滑动临界，即若滚必滑

滚阻因数⚓︎

在临界条件下，有\(M_f=M_m=\delta F_N\)，其中\(\delta\)称为滚阻因数

\(\delta\)具有实际意义，其表示简化点到简化为合力的简化中心的距离

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