数学基础⚓︎

矩阵⚓︎

记号规范⚓︎

在手写体中，应使用大写字母加下划线来表示矩阵，例如：\(\underline{ A}\)

在理论力学中，矩阵 \((i,j)\) 位置的元素不再使用小写，而是直接用大写字母表示，如：\({ A}_{ij}\)

特殊矩阵⚓︎

单位矩阵⚓︎

单位矩阵不再用 \(E\) 来表示，改用 \(I\) ,同样的，对于n阶的单位矩阵，用\(I_n\)

对称与反对称矩阵⚓︎

对称阵满足\({A}_{ij}={A}_{ji}\)

反对称阵满足\({A}_{ij}=-{A}_{ji}\)，这意味着其对角线上元素一定为零

行阵与列阵⚓︎

\(m\times 1\)阶矩阵称为m阶列阵，\(1\times m\)阶矩阵称为m阶行阵。

行阵与列阵在手写时都要求使用小写字母加下划线，如：\(\underline{a}\)

矢量⚓︎

单位矢量⚓︎

模为1的矢量称为单位矢量，记为：\(\vec{e}\)

矢量运算⚓︎

模定义的延拓⚓︎

在之前的定义中，模是向量的大小，都是正数；在理论力学中，将这一概念加以延拓

取定单位矢量 \(\vec{e}\) 为标准，若存在矢量 \(\vec{b}\) ，满足 \(\vec{b}=a\vec{e}\) ，则无论 a 是正是负，都可以把其称作矢量 \(\vec{b}\) 的模。这也就是说，模可以是一个负数。

矢量的叉乘⚓︎

则，\(\vec{c}\) 是以 \(|a||b|\sin{\theta}\) 为大小，且方向与\({\vec{a}}\)、\({\vec{b}}\)的方向满足右手定则的向量.

从几何意义上，\(\vec{c}\) 的模值，表示以\({\vec{a}}\)、\({\vec{b}}\)为邻边的平面平行四边形的面积.

矢量的混合乘积运算⚓︎

第二个式子的几何意义，表示的是以三个矢量为邻边构成的平行六面体的体积。

矢量基与基矢量⚓︎

在参考空间内的三个正交单位矢量\(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\)按右手法则顺序构成一个坐标系，该坐标系称为矢量基，这三个正交的单位矢量称为基矢量.

对于上述三个基矢量，有

上述式子中，\(\delta_{\alpha\beta}\)称为克罗内克符号，即

而\(\varepsilon _{\alpha\beta\gamma}\)称为里奇符号，即

将基矢量\(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\)构成一个矢量列阵

这个矢量列阵可以用来表示对应的矢量基.

矢量的代数表示和坐标阵运算⚓︎

矢量表示⚓︎

对于某个矢量\(\vec{a}\)，给定一组基向量，其可以表示为

则可以用一个列阵表示矢量在该矢量基上的坐标阵，记作

矢量\(\vec{a}\)的三个坐标还可以定义一个反对称矩阵，记作

这称为矢量\(\vec{a}\)在该矢量基上的坐标方阵.

在坐标基\(\vec{\boldsymbol{e}}\)中存在一点\(P\)，从基点\(O\)指向点\(P\)的矢量称为点\(P\)的矢径，记作

由此可见，点\(P\)的三个坐标就是其矢径的三个坐标.

需要说明的是，矢量在几何上是一客观存在的量，与是否选取坐标基是没有关系的.但是显然地，对于不同的坐标基，同一矢量的坐标是不同的.

矢量运算对应的坐标阵运算⚓︎

当我们规定了矢量的代数表示后，所有的矢量运算可以归结为矢量对应的矩阵的运算，对应法则如下：

平面矢量⚓︎

首先，平面矢量都可以看做某一分量为0的正常三维矢量来看，因此之后只会记录一些平面矢量的特别之处

对于\(\vec{z}=\vec{x}\times\vec{y}\)，称其为法向量

为了计算平面向量的叉乘，引入一个特殊符号：

这一矩阵有一些特殊的性质：

在这一矩阵的帮助下，我们得以计算平面矢量的叉乘：

使用这一矩阵，我们还能计算平面矢量的旋转

记\(\widehat{\vec{a}}\)为\(\vec{a}\)绕法向量逆时针旋转90度所得的矢量，则有：

动力学相关数学基础⚓︎

方向余弦阵⚓︎

定义⚓︎

对于两个矢量基\(\vec{e}^r\)和\(\vec{e}^b\)，定义基\(\vec{e}^b\)关于\(\vec{e}^r\)的方向余弦阵为：

几何意义⚓︎

对于单独的某一个元素，其表示对应向量之间夹角的余弦值。具体而言，\(A_{ij}\)表示矢量\(\vec{e}^{r}_{1}\)和\(\vec{e}^{b}_2\)之间夹角的余弦值

对于行向量，其转置是\(\vec{e}^r\)的基矢量在基\(\vec{e}^b\)下的坐标阵，表示为坐标形式即：

对于列向量，其表示\(\vec{e}^{b}\)和\(\vec{e}^{r}\)下的坐标阵，表示为坐标形式即：

如果从坐标的角度来看，同一向量在两组基下的关系可以表示为：

这个式子也说明，向量余弦阵表示的是同一向量从一个坐标基转换为另一坐标基的表示法。

性质⚓︎

• 每一列列向量与其自己的转置做乘积后结果为1

• 两列不同的列向量的作乘积（其中一列作转置）结果为0

• 按照顺序作叉乘的两列结果为第三列

• 基r关于基b的方向余弦阵和基b关于基r的方向余弦阵之间互为转置，即\((A^{rb})^T=A^{br}\)

• 对于对应基矢量平行的两组坐标基，其方向余弦阵是三阶单位矩阵，即\(A^{rr}=I_3\)

• 若有三组坐标基r、s、b，基s关于r的方向余弦阵为\(A^{rs}\)，基b关于r的方向余弦阵为\(A^{sb}\)，则基r关于基b的方向余弦阵\(A^{rb}=A^{rs}A^{sb}\)

• 同一矢量，在不同坐标基下的坐标方阵的关系为：\(\tilde{a}^{r}=(A^{br})^{T}\tilde{b}A^{br}\)(即对原来的矢量方阵作合同变换)

平面方向余弦阵⚓︎

姿态角⚓︎

定义\(\vec{x}^b\)和\(\vec{x}^{r}\)的夹角为基b关于基r的姿态角\(\varphi\)，姿态角以逆时针为正向

定义⚓︎

对于两个平面的基r和基b，定义基b关于基r的方向余弦阵为：

性质⚓︎

值得一提的性质只有一条：

矩阵与矢量对时间的求导⚓︎

矩阵对时间的求导⚓︎

矩阵对时间的求导，等于矩阵的每一个元素分别对时间求导，写作数学形式：

对于对时间的求导，一般在对应值上面加一点表示，对于矩阵而言，可以表示为：\(\dot{\boldsymbol{A}}\)

因此，上述式子也可以记作：

特别的，对于平面的方向余弦阵，有：

运算⚓︎

对于矩阵的运算，满足如下的数学规律：

• \(\dfrac{d}{dt}(A+B)=\dfrac{d}{dt}A+\dfrac{d}{dt}B=\dot{A}+\dot{B}\)

• \(\dfrac{d}{dt}(\alpha A)=\dfrac{d\alpha}{dt}A+\alpha\dfrac{d}{dt}A=\dot{\alpha}A+\alpha \dot{A}\)

• \(\dfrac{d}{dt}AB=(\dfrac{d}{dt}A)B+A(\dfrac{d}{dt}B)=\dot{A}B+A\dot{B}\)

矢量对时间的求导⚓︎

定义⚓︎

首先，矢量\(\vec{a}(t)\)对t的求导仍然为矢量，其方向与\(a\)的矢端轨迹相切，或者说与\(a\)垂直，大小定义为:

同样的，对于矢量\(a\)的导数，可以记作：\(\dot{\vec{a}}\)

矢量对时间求导在基下的表示⚓︎

首先需要强调的是，矢量求导的结果与基的选取没有任何关系

在一组选定的基下

基矢量对时间的求导总为0，即：

对任意矢量的求导满足：

矢量的计算⚓︎

矢量的计算和标量的计算满足完全一致的规律，在此省略

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