积分变换⚓︎
傅里叶变换⚓︎
预备定理⚓︎
定理：（傅里叶存在性定理）
设\(f_T(t)\)为以T为周期的实函数，且在一个周期上满足狄利克雷条件(Dirichlet)条件：1.\(f_T(t)\)连续或仅有有限个第一类间断点 2.\(f_T(t)\)仅有有限个极值点，则\(f_T(t)\)可以展开为傅里叶级数，且在连续点t处有：
\[
f_T(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n\cos n\omega t+b_n\cos n\omega t)
\]
在第一类间断点处有：
\[
\frac{f_T(t+0)+f_T(t-0)}{2}=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n\cos n\omega t+b_n\cos n\omega t)
\]
其中：
\[
\begin{cases}
\omega = \frac{2\pi}{T} \\
a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f_T(t)\cos n\omega t dt \\
b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f_T(t)\sin n\omega t dt
\end{cases}
\]
定理（傅里叶积分定理）:
若函数\(f(t)\)在任意有限区间上满足Dirichlet条件，且在区间\((-\infty,+\infty)\)上绝对可积，则\(f(t)\)可以表示为傅里叶积分的形式，即：
\[
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)e^{-i\omega t}d\tau]e^{i\omega t}d\omega
\]
定义⚓︎
对于满足Dirichlet的函数\(f(t)\)，称
\[
F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt
\]
为傅里叶正变换，称
\[
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i\omega t}dt
\]
为傅里叶反变换，将\(f(t)\)和\(F(\omega)\)称为一对傅里叶变换对。
傅里叶变换的实际意义，是将时域的信号变换到频域上。
最后更新:
March 12, 2023
创建日期: March 12, 2023
创建日期: March 12, 2023