留数及其应用⚓︎
留数的定义⚓︎
定义：若\(z_0\)是函数\(f(z)\)的一个孤立奇点，则称函数在这一点的留数为：
记为\(Res[f(z),z_0]\)，其中C是解析区域内的任意一条正向曲线
定理：函数在一点的留数，等于函数在这一点作罗朗展开后，z的-1次幂项的系数\(C_{-1}\)，即
关于留数的定义有两点需要说明：
-
留数是针对孤立奇点定义的，如果不是孤立奇点，那么根本就不存在留数
-
上述的定理，实际上可以看做留数的另一种定义，其证明十分的简单
无穷远处的留数⚓︎
一般而言，无穷远总是一个函数的孤立奇点，在无穷远处理应存在留数，事实上也确实如此，但是无穷远的留数定义，和在有限点的留数定义略有区别
无穷远处留数，如果要用积分形式定义，则定义为：
其中\(-c\)是一条逆向曲线
如果要用罗朗展开系数定义，则定义为：
即-1次幂系数的相反数
这种变化其实很很自然的，因为只要你取得线还在有限平面内，那么相对于无穷，其一定是逆向的，因此只有在有限平面内取逆向，才能相对于无穷为正向曲线
留数的计算⚓︎
留数的计算有两大方法，一是罗朗展开法，而是极限法
在求函数在一点的留数时，首先应该判断其奇点类型
可去奇点的留数⚓︎
定理：若\(z_0\)是函数\(f(z)\)的可去奇点，则\(Res[f(z),z_0]=0\)
这就是说，可去奇点的留数总是0
本性奇点的留数⚓︎
对于本性奇点的留数，只能用定义法展开求解，即求出函数在这一点的罗朗展开，然后取对应的系数
m阶极点的留数⚓︎
对于m阶极点，有两种求法
其一，定义法
直接将函数在\(z_0\)处展开，取对应的罗朗系数。这种做法适用于m较大的情况或者是不好求导的情况
其二，极限法
定理：设\(z=z_0\)为\(f(z)\)在复平面上的m阶极点，则：
特别的，如果\(m=1\)，有：
无穷远处的留数⚓︎
定理：设\(z=\infty\)是函数\(f(z)\)的孤立奇点，则
这本质上，其实还是利用了\(f(\frac{1}{z})\)在0处的留数的计算
留数定理⚓︎
定理：设C为一条正向简单闭曲线，且包含了有限个奇点，则：
本质就是闭路定理
留数在实积分中的运算⚓︎
形如\(\int_{0}^{2\pi}R(\sin \theta,\cos \theta)d\theta\)的实积分⚓︎
计算方法⚓︎
令\(z=e^{i\theta}\)，则
\(\sin \theta\)对应\(\dfrac{z-z^{-1}}{2i}\)
\(\cos \theta\)对应\(\dfrac{z+z^{-1}}{2}\)
\(d\theta\)对应\(\dfrac{dz}{iz}\)
\(0<\theta<2\pi\)对应\(C:|z|=1\)
这样，实数域上的积分，就转化成立复数域上的积分，之后，就可以运用留数解决问题了
特殊情况的处理⚓︎
如果遇到倍角，如\(\sin mx\)，则转化为z的高次方处理
如果遇到不完整周期，如\(0<x<\pi\)，则利用其周期性或者对称性转化为完整周期的计算
对于非\(2\pi\)周期的情况，先相似变换到\(2\pi\)周期，再用上述标准处理
形如\(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{P(x)}{Q(x)}dx\)的实积分⚓︎
计算方法⚓︎
定理：
若P，Q均为多项式，且满足：
1.\(Q(x)=0\)无实根
2.\(Q(x)\)比\(P(x)\)的阶数高两阶及以上
则有：
其中，\(z_k\)为上半平面的所有奇点
利用这一定理，可以将积分运算转化为留数运算
形如\(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{P(x)}{Q(x)} e^{imx}dx\)的实积分⚓︎
计算方法⚓︎
若P，Q均为多项式，且满足：
1.\(Q(x)=0\)无实根
2.\(Q(x)\)比\(P(x)\)的阶数高
则有：
其中，\(z_k\)为上半平面的所有奇点
利用这一定理，可以将积分运算转化为留数运算
特殊积分⚓︎
Dirichlet积分：
Gauss积分：
创建日期: March 12, 2023