解析函数的级数展开⚓︎

复级数⚓︎

基本概念⚓︎

定义：将式子：

称为复数项级数。其前n项和

称为级数式的前n项部分和。对于一个级数而言，如果其部分和收敛，则称级数收敛；相反的，如果部分和不收敛，则称级数发散。

在所有的级数中，有两个很重要的级数，在此特意介绍：

几何级数：

p级数：

特别的，将\(p=1\)时的p级数称为调和级数。

复级数的收敛与发散⚓︎

对于复级数而言，有两种收敛。若\(\sum_{n=1}^{+\infty}|z_n|\)收敛，则称级数绝对收敛；若\(\sum_{n=1}^{+\infty}|z_n|\)发散，但是\(\sum_{n=1}^{+\infty}z_n\)收敛，则称级数条件收敛。

要确定复级数是否收敛，除了定义之外，还有一下两条定理可以作为判定的依据：

定理1：绝对收敛一定条件收敛

定理2（柯西收敛）：对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，存在自然数N，使当\(n>N\)时，对于任何自然数p，有：

除了判定复级数的定理，复级数的收敛本身也具有性质：

定理1：设\(z_n=x_n+iy_n\)，如果原级数收敛，则\(\sum_{n=1}^{+\infty}x_n\)和\(\sum_{n=1}^{+\infty}y_n\)也收敛。

定理2：如果级数收敛，则\(\lim_{n\to \infty}z_n=0\)

幂级数⚓︎

级数的基本概念⚓︎

定义：称形如

或

的函数项级数为幂级数，其中系数均为常数

阿贝尔定理：若幂级数\(\sum_{n=0}^{+\infty}\)在\(z=z_0(z=z_0)\)处收敛，则它在\(|z|<|z_0|\)内绝对收敛；若此幂级数在\(z=z_0\)处发散，则它在\(|z|>|z_0|\)内发散

收敛圆与收敛半径⚓︎

定义：若存在一个正数R，是幂级数\(\sum_{n=0}^{+\infty}c_nz^n\)在\(|z|<R\)内绝对收敛，而在\(|z|>R\)内处处发散，则称\(|z|=R\)为收敛圆，\(R\)为收敛半径。

首先要指出的是，无论什么级数，在\(z=z_0\)处都是收敛的。

对于幂级数的收敛半径，可以用一下定理计算

定理：设幂级数\(\sum_{n=0}^{+\infty}c_nz^n\)，若以下两个条件之一成立：

则幂级数\(\sum_{n=0}^{+\infty}c_nz^n\)的收敛半径\(R=\frac{1}{l}\)

幂级数的运算与分析性质⚓︎

复级数的运算和实级数的运算有相同的性质，在此从略

复级数在收敛域内也可以逐项求导和逐项积分，这也和实级数一样

泰勒展开⚓︎

定理⚓︎

若\(f(z)\)在圆域D：\(|z-z_0|<R\)内解析，则在D内\(f(z)\)可以展开成幂级数

其中

\(c\)是D内任一圆形封闭曲线，并且此展开式唯一。

对于解析函数，在其解析域内的一点总是可以泰勒展开的，其对应的R就是该点到最近奇点的距离。

常用展开⚓︎

以下展开都默认在0处进行：

解析与展开⚓︎

实际上，通过泰勒展开，还可以定义解析的一种表示方式

定理：

\(f(z)\)在区域D内解析，等价于对于任意的\(z\)属于\(D\)，总是存在\(R\)，当\(|z-z_0|<R\)时，\(f(z)\)可以展开为幂级数

不仅如此，根据之前的表述，我们很容易知道，这里的\(R\)实际上就是展开点到距离其最近的奇点的距离

罗朗级数⚓︎

通过泰勒定理展开为幂级数存在一定的局限性，泰勒定理要求函数必须在展开点的邻域内解析，但是有时候需要在个别不解析的点展开，这时泰勒定理就无法处理。事实上，虽然在一些奇点无法泰勒展开，但是依然可以展开为级数的形式，这就是罗朗级数。

概念与定义⚓︎

定义：称既有正幂级数又有负幂级数的双边幂级数

为罗朗级数。如果两部分幂级数都收敛，则称双边幂级数收敛。

经过简单的计算，不难发现，罗朗级数的收敛区域是一个圆环，且在圆环解析区域内，依然可以逐项求导与逐项积分。

函数的罗朗展开⚓︎

定理：

设函数\(f(z)\)在圆环与\(r<|z-z_0|<R\)内解析，则\(f(z)\)在此圆环域内可以唯一的展开为罗朗级数

其中

C是圆环域内一条包括了\(z\)和\(z_0\)的封闭曲线

解析函数的奇点⚓︎

孤立奇点⚓︎

定义：

若\(z_0\)是函数\(f(z)\)的奇点，且函数在\(z_0\)的去心邻域\(0<|z-z_0|<r\)内解析，则称点\(z_0\)为函数的孤立奇点，否则称为函数的非孤立奇点。

非孤立奇点可以简单的分为两类，一种是自然的连续不解析边界上的点，一种是虽然不连续但是是其他奇点的聚点的奇点

孤立奇点的分类⚓︎

根据孤立奇点的定义，很显然，在任意一个孤立奇点的去心邻域内，函数可以罗朗展开为：

对于这一洛朗展开式，将负幂部分称为主要部分，将正幂部分称为解析部分

根据罗朗展开的主要部分，可以孤立奇点分为3类

定义：

对于\(f(z)\)的孤立奇点\(z_0\)，如果在其去心邻域内的罗朗展开式满足：

(1)主要部分为0，则称\(z_0\)为可去奇点。这样的情况下，函数可以在补充定义之后进行泰勒展开。

(2)主要部分为有限项，假设共有m项，则称\(z_0\)为m阶极点。这样的情况下，原函数可以写成\(f(z)=\dfrac{f_1(z)}{(z-z_0)^m}\)，其中\(f_1(z_0)\neq 0\)

(3)主要部分为无限项，则称\(z_0\)为本性极点

奇点的判别方法⚓︎

定理1：

\(z_0\)是\(f(z)\)的可去奇点等价于：

(1)\(\lim_{z\to z_0}f(z)\)极限存在且有限

(2)\(f(z)\)在\(z_0\)的去心邻域内有界

定理2：

\(z_0\)是\(f(z)\)的极点等价于\(\lim_{z\to z_0}=\infty\)

注：这一定理只能确定一个点是不是极点，但是具体是几阶的极点，没法确定。

在给出m阶极点的判定方法之前，有必要先引出一个定义

定义（零点）：

若不恒为0的解析函数\(f(z)\)可以表示为：

并且\(f_1(z_0)\neq 0\)，则称\(z_0\)为\(f(z)\)的m阶零点

如果函数在\(z_0\)解析，则\(z_0\)是m阶零点等价于函数在\(z_0\)处的0到m阶导数均为0，且m+1阶之后的导数均不为0

定理3：

\(z_0\)是m阶极点的充要条件是\(z_0\)是\(\dfrac{1}{f(z)}\)的m阶零点

一般而言，对于分数形式的函数，对m阶极点的判断有更加直观的方法：

规律：

若函数\(f(z)\)可以写作\(f(z)=\dfrac{g(z)}{h(z)}\)的形式，且\(z_0\)是函数\(g(z)\)的\(m_1\)阶零点，是函数\(h(z)\)的\(m_2\)阶零点，则：

(1)若\(m_1>m_2\)，则\(z_0\)是原函数的可去奇点，或者\(z_0\)是原函数的\(m_1-m_2\)阶零点

(2)若\(m_1<m_2\)，则\(z_0\)是原函数的\(m_2-m_1\)阶极点

注：上述的规律是基于直观的认知，不能直接作为定理使用，真正判断的时候还是要根据定理来证明。

定理4：

\(z_0\)是函数的本性奇点的充要条件是\(\lim_{z\to z_0}f(z)\)不存在

无穷远处函数的性态⚓︎

无穷远的奇点特性⚓︎

定义：设函数\(f(z)\)在\(R<|z|<+\infty\)内解析，则称无穷为函数的一个孤立奇点

需要说明的是，一般情况下，约定无穷远是任意函数的孤立奇点；但是，在存在趋于无穷的奇点列时，无穷不再是孤立奇点，而是非孤立奇点。

在讨论\(\infty\)的奇点性质时，常常转换为讨论\(f(\xi)=f(\dfrac{1}{z})\)，不难证明：\(f(\xi)\)在\(\xi=0\)处的奇点类型和\(f(z)\)在\(\infty\)处的奇点类型相同

无穷远点奇点的分类⚓︎

对于函数\(f(z)\)在\(|z|>R\)上的罗朗展开：

称其中的正幂部分为主要部分

若主要部分为0，则为可去奇点

若主要部分为有限的m项，则为m阶极点

若主要部分为无穷项，则为本性奇点

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