复变函数的积分⚓︎

积分的基本概念⚓︎

定义⚓︎

\(C\)为空间中的有向光滑曲线，则将复变函数的积分定义为：

不难看出，曲线积分的定义方式实际上与实变函数的第二类曲线积分一致。

积分的表示与计算⚓︎

命题1：

对于可积的函数\(f(z)\)，有

这一命题说明，复变函数的积分可以表示为实部虚部分别为实变函数第二类曲线基本的形式.

命题2：

若在积分路径C上总有\(z=z(t)\)，则：

这一命题展示了在积分的参数表示以及参数形式下的计算

积分的性质⚓︎

线性性：同实变，略。

区间可加性：同实变，略。

方向性：同实变，略。

估值性：

若函数\(f(z)\)在曲线\(C\)上满足\(|f(z)|\leq M\)，且曲线的长度为\(L\)，则：

柯西定理⚓︎

定理1（柯西定理）：

设函数\(f(z)\)在单连通区域\(D\)内解析，\(C\)为\(D\)内的任意一条闭曲线，则：

柯西定理说明了一个重要的事实，即解析函数在单连通区域内的积分值与积分路径无关.

对于柯西定理，选取的曲线可以推广到边界上，这样就得到了如下推论:

推论1（边界推广）：

设闭曲线\(C\)是单连通区域\(D\)的边界，函数\(f(z)\)在\(D内解析，在\)C$上连续，则

依据复变函数积分与路径无关的事实，可以得出，复变函数的计算满足牛顿-莱布尼茨公式，这一事实可以表述为如下推论:

推论2（计算公式）：

假设\(f(z)\)在单连通区域\(D\)上解析，\(z_0\)为\(D\)内一定点，\(z\)为\(D\)上一动点，则一定存在\(F(z)=\displaystyle\int_{z_1}^{z_2}f(\xi)\textrm{d}\xi\)，满足\(F'(z)=f(z)\)，且\(F'(z)\)在\(D\)内解析，即：

根据上述定理与推论，可以得到一个重要的结论：

对于积分\(I=\displaystyle\oint_{c}\dfrac{1}{(z-z_0)^{n+1}}\textrm{d}z\)，其中\(C\)是包含\(z_0\)的一段空间闭曲线，取正向，\(n\)为整数，其结果为：

注意：这一积分结果与\(z\)的解析性无关，只要其在\(C\)上可积即可.

柯西定理是定义在单连通区域的，但是实际上，对于多连通区域，柯西定理也是成立的，这就是闭路定理.

定理2（闭路定理）：

\(f(z)\)在多连通区域\(D\)上解析，且在\(\overline{D}\)上连续，则：

\(C_0\)是外层边界，\(C_k\)是内边界，在定理中两者取同向.

柯西积分公式⚓︎

定理3（柯西积分定理）：

设闭曲线\(C\)是单连通区域\(D\)的边界，若函数\(f(z)\)在\(D\)内解析，在\(C\)上连续，则对于\(D\)内任意一点\(z\)，有：

同样的，柯西积分定理对于多连通区域也成立，不过对于多连通而言，边界\(C\)应该是所有边界之和。

根据这一柯西积分定理，可以得到高阶求导公式，描述为推论如下

推论1：（高阶导公式）

若\(f(z)\)在区域\(D\)内解析，与\(\overline{D}\)上连续，则任意\(z\)属于\(D\)，有：

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