解析函数⚓︎

复变函数⚓︎

复变函数的定义⚓︎

设在复平面上有点集D，若对于D中的每一点\(z\)，按照某一明确的法则，有确定的复数\(w\)与之对应，则称\(w\)为\(z\)的复变函数，记为\(w=f(z)\).

若对于一个复数\(z\)，只有唯一一个\(w\)与之对应，则称\(f(z)\)为单值函数；若对于一个复数\(z\)，有多个甚至无穷多的\(w\)值与之对应，则称\(f(z)\)为多值函数

对于一个复变函数\(w=f(z)\)，记\(z=x+iy,w=u+iv\)，则有：

这样，一个复变函数就对应了两个二元的实变函数，即：

这种分解的方法，是处理复变函数问题的常用手段

值得注意的是，复变函数是没有一条平面曲线与之对应的。 在几何意义上，他代表了从\(z\)复平面上的区域到\(w\)复平面上区域的映射。

曲线在映射下的像⚓︎

映射，是一个复平面的点集与另一个复平面上点集的对应关系。若原像对应的点集为一条曲线，在已知映射关系的作用下，可以求出像所对应的曲线。

虽然有不同的情况，但是最好的处理方法是将复数域上的函数转变为实数域上的函数关系问题。

首先利用映射关系和复数表示的唯一性找出\(u,v\)于\(x,y\)的关系，得到\(x=x(u,v)，y=y(u,v)\)。

之后再利用原像曲线给出的\(x,y\)关系消去\(x,y\)，得到\(u,v\)之间的关系，这样就得到了像对应的曲线。

复变函数的极限⚓︎

极限的定义⚓︎

定义：设函数\(w=f(z)\)在点\(z_0\)的某个邻域内与有定义，\(A\)为复常数，若

则称\(A\)为\(f(z)\)当\(z\)趋于\(z_0\)时的极限，记为：

由于\(z\)对应的实际上是复平面上的一个点，所以这里的趋近实际上是平面上的趋近，即从任意方向任意路径趋近（类似于平面二元函数极限中的趋近）

根据上述趋近的解释，不难的出证明极限不存在的两种手段：

1.证明沿某条路径趋近时，极限不存在

2.证明沿两个不同路径趋近时，极限不相等

极限的充要条件⚓︎

定理：设\(w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u_0+iv_0,z_0=x_0+iy_0\)，则：

这一定理将复变函数的逼近问题转化为了二元实变函数的逼近问题，具有十分重要的意义

极限的运算⚓︎

定理：当\(z\to z_0\)时，若有：

则：

复变函数的连续性⚓︎

定义⚓︎

设函数\(w=f(z)\)在\(z\)的某个邻域内有定义，若有\(\displaystyle\lim_{z \to z_0}f(z)=f(z_0)\)，则称函数在点\(z_0\)处连续，称\(z_0\)为函数的连续点；若函数在区域D内处处连续，则称函数在区域D上连续

根据复变函数的分解和上述定义，可以得到函数连续的等价条件：

若存在复变函数\(w=f(z)=u+iv\)在点\(z_0=x_0+iy_0\)的一个邻域内有定义，则函数在\(z_0\)处连续等价于二元实变函数\(u(x,y)和v(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处连续.

幅角函数与初等复函数的连续性⚓︎

\(w=\textrm{Arg}\ z\)(\(k\)取某一定值)在去掉原点以及负实轴的其他区域内连续。我们将去掉原点以及复实轴的平面称为割破平面.

指数函数在平面上处处连续；

对数函数在割破平面上连续；

幂函数分为一般情况与特殊情况。一般情况下，幂函数在割破平面上连续；当\(\alpha=n\)时，在全平面上连续；当\(\alpha=\dfrac{1}{n}\)时，在割破平面上连续；当\(\alpha=-n\)时，在原点以外的平面上连续\((n\in \mathbb{N}^*)\).

三角函数在平面上处处连续

连续函数的性质⚓︎

性质1：连续函数四则运算的结果仍然是连续函数，连续函数的复合函数仍然是连续函数

性质2：若\(w=f(z)\)在有界闭区域上连续，则其模\(|f(z)|\)在区域上有界，且能取到最大值和最小值

复变函数的导数与微分⚓︎

复变函数的可导性⚓︎

设\(w=f(z)\)在\(z_0\)的邻域区域内或包含\(z_0\)的区域\(D\)内有定义，若极限

存在，则称此极限的值为函数在这一点的导数，记为\(f'(z_0)\)，同时，称函数在该点可导

注：对于复变函数，也可以使用和实变函数一样的记号，比如写作\(\dfrac{\textrm{d}f}{\textrm{d}z}\).

可导的必要条件⚓︎

若\(w=f(z)\)在\(z_0=x_0+iy_0\)处可导，且\(f(z)=u+iv\)，则\(u=u(x,y),v=v(x,y)\)在\((x_0,y_0)\)处可导，且满足

以及有 \(f'(z_0)=\dfrac{\partial u}{\partial x}+i\dfrac{\partial v}{\partial x}\).这称为柯西-黎曼条件.柯西黎曼条件在极坐标下的形式为

可导的充要条件⚓︎

定理2：\(f(z)=u+iv\)在区域D有定义，则\(F(z)\)在D上任一点可导等价于\(u,v\)在该点可微，且\(u,v\)满足C-R条件

注：对于可微的具体定义，在微积分中有阐述，这里不赘述。

推论1：\(w=f(z)=u+iv\)在区域D上可导，等价于\(u,v \(的一阶偏导数在D内存在且连续并且\)u,v\)满足C-R条件

注：这条推论的实质是可微的等价条件。

复变函数的求导⚓︎

对于以\(z\)为变量的复变函数，其求导方式与一元实变函数完全一致

解析函数⚓︎

定义⚓︎

若\(f(z)\)在\(z_0\)以及\(z_0\)的领域内可导，则称\(f(z)\)在\(z_0\)处解析，若\(f(z_0)\)在D上每一点解析，则称\(f(z)\)在D上解析

根据定义，不难看出，如果针对单点，函数在某点解析，则一定在这一点可导，但在某点可导的函数在对应点不一定解析；如果针对区域，函数在某个区域上解析等价于函数在某个区域上可导

解析的充要条件⚓︎

定理3：\(f(z)\)在区域D内解析，等价于\(u,v\)在区域D内可微且满足C-R条件

推论：\(f(z)=u+iv\)在区域D内解析，等价于\(u,v\)在D内偏导数连续且满足C-R条件

注：不难看出，定理3及其推论和定理2及其推论是相互对应的。

解析函数为常数的条件⚓︎

• 若函数在区域内解析，且其导数恒为0，则函数为常数

• 若解析函数的实部、虚部、模或者幅角有一个恒为常数，则函数为常数

• 解析函数的共轭在区域内解析，则函数为常数

调和函数⚓︎

定义⚓︎

如果二元实函数\(u(x,y)\)在区域D内具有连续的二阶偏导数，且满足二维拉普拉斯方程：

则称\(u(x,y)\)为区域D内的调和函数。

在上述定义中，(1)式又称为调和方程。

共轭调和函数⚓︎

设\(u(x,y)\)和\(v(x,y)\)均为区域D内的调和函数，所\(u,v\)在区域D内满足C-R条件，则称\(v\)是\(u\)的共轭调和函数。

注意：共轭调和函数不是一个对称的概念，不存在互为共轭这种说法。\(v\)是\(u\)的共轭调和函数，不代表\(u\)是\(v\)的共轭调和函数

解析函数与调和函数的关系⚓︎

定理4：若\(f(z)\)在D内解析，则\(u,v\)在D内调和且满足C-R条件

注：上述定理表述了解析的必要条件，反向来看是不成立的。

定理4.1：若\(u(x,y)\)是单连通区域D内的调和函数，则一定可以找到它的共轭调和函数\(v(x,y)\)，使\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)成为D内的解析函数，而且这样的\(v\)有无穷多个

注：上述定理的证明运用了全微分条件，详细见课本。

定理5：\(f(z)\)在区域D内解析，等价于\(v\)是\(u\)的共轭调和函数

小结⚓︎

从复变函数求导到调和函数，一共有5条十分重要的定理，以及一些重要的等价条件，将其形象的展示于下图中：

初等解析函数⚓︎

指数函数⚓︎

定义：\(exp(z)=e^x(cosy+isiny)\)

性质：

1.基本性质：\(|e^z|=e^x,\rm{Arg}e^z=y+2k\pi i,\rm{Re}e^z=e^x\cos{y},\rm{Im}e^z=e^x\sin{y}\)

2.周期性：\(e^z\)以\(2k\pi i\)为周期，即\(e^{z+2k\pi i}=e^z\)

3.指数可加：\(e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}\)

注：与实变函数不同，复变函数中的指数函数特指以e为底数的函数，形如\(a^z\)这样的函数不叫指数函数，是一种复合函数

对数函数⚓︎

定义：\(w=\rm{Ln}z=ln|z|+i\rm{Arg}z=ln|z|+i\rm{arg}z+2k\pi i\)

从定义中可以看出，\(\rm{Ln}z\)在复平面上可以分出无数个单值函数，每取定一个\(k\)，即可得到一个对应的单值函数，这样的单值函数称为\(\rm{Ln}z\)的一个分支。

注：0没有对数函数。

特别的，当k=0时，称\(w=ln|z|+i\rm{arg}z\)为\(w=\rm{Ln}z\)的主值，记为：

注:一定要注意区分\(Ln和ln\)的区别.

利用对数函数，可以定义

为一般指数函数

性质：

1.基本性质\(ReLnz=ln|z|,ImLnz=Argz\)

2.\(Ln(z_1z_2)=Lnz_1+Lnz_2,Ln(\frac{z_1}{z_2})=Lnz_1-Lnz_2\quad (z_1\neq 0,z_2\neq 0)\)

注：如果将Ln换成ln,则上述性质不成立。

3.*\(Lnz^n \neq nLnz\)

幂函数⚓︎

定义：设\(\alpha,z\)为复数，称

为幂函数

幂函数是指数函数与对数函数的复合函数，除了几种特殊情况，他都是无限多值的多值函数

幂函数在指数取一些特殊值时，可以变为有限分支的函数

1.当\(\alpha=n(n为正整数)\)时，\(w=z^{\alpha}=z^n\)为单值函数，就是基本的乘方运算结果

2.当\(\alpha=-n(n为正整数)\)时，与上式类似的，也是一个单值函数

3.当\(\alpha=\frac{1}{n}(n为正整数)\)时,相当于开方运算，此时是一个n值函数

4.当\(\alpha=\frac{m}{n}(\frac{m}{n}为有理数)\)时，相当于乘方之后的开方运算，也是一个n值函数

三角函数⚓︎

定义：对于任意复数\(z\)，称

分别为\(z\)的正弦函数和余弦函数

显然，复数域上的正弦余弦函数，就是实数域上正弦余弦函数的自然推广

正弦余弦函数具有如下性质：

奇偶性：正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数

周期性：均以\(2\pi\)为周期，且正弦函数在\(z=k\pi\)时为0，余弦函数在\(z=\frac{\pi}{2}+k\pi\)处为0

欧拉公式形式：\(\cos z+i\sin z=e^{iz}\)

无界性：复数域上的正弦与余弦函数，都是无界函数，这和实数域上大不相同

复数域上的其他三角函数，可以利用正弦与余弦以实数域上相同的方式进行定义，不仅如此，实数域上三角函数满足的运算，在复数域上依旧成立

双曲三角函数⚓︎

定义：对于任意复数\(z\)，称

为\(z\)的双曲正弦函数，双曲余弦函数，和双曲正切函数

双曲函数与三角函数有着很深的关联，不难看出：

除此之外，双曲三角函数还有一些其他的性质：

周期性：\(\cosh z,\sinh z\)的基本周期为\(2\pi i\)

奇偶性：\(\cosh z\)为偶函数，\(\sinh z\)为奇函数

反三角函数⚓︎

定义：称\(w=Arcsin z=-iLn(iz\pm\sqrt{1-z^2})\)为反正弦函数，称\(w=Arccos z=-iLn(z\pm\sqrt{z^2-1})\)为三角余弦函数

初等函数的解析性⚓︎

指数函数与三角函数在整个复平面上解析，而对数函数和幂函数在割破的平面上解析

非初等函数一般都是不解析的。

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