复数和复变函数⚓︎

复数及其表示⚓︎

形如

\[z=a+b\textrm{i},\qquad a,b\in\mathbb{R}\]

的数称为复数，这称为复数的代数表示.对于任何一个复数而言，其模长\(\left |z\right|\)定义为

\[\left | z \right |=\sqrt{a^2+b^2},\]

其幅角定义为复数对应向量与\(x\)轴的夹角大小，记作\(\textrm{Arg}\ z\).若我们规定取其在\((-\pi,\pi]\)范围内的角，则其称为幅角主值，记作\(\textrm{arg}\ z\).如果\(\overrightarrow{OP}=(x,y)\)，则其幅角

\[ \textrm{arg}\ z=\begin{cases} \arctan \dfrac{y}{x},\quad x>0,\\ \pi +\arctan \dfrac{y}{x},\quad x<0,y\geqslant0,\\ -\pi +\arctan \dfrac{y}{x}, \quad x<0,y<0. \end{cases} \]

注：这样的计算与定义方法实际上是非常自然的.辐角主值的范围定义在\((-\pi,\pi]\)，但是\(\arctan\)的值域只包含了\((-\pi/2,\pi/2]\).这样，处于第三、二象限的向量，会分别和处于第一、四象限的对应向量的值重复.因为第二象限arctan值为负，所以加π区分，而第三象限arctan值为正，所以减π区分。反过来看，如果一个复数的幅角大于\(\dfrac{\pi}{2}\)，那么其对应向量一定在第二象限，另一边同理.

于是，复数还可以写作

\[ z=r(\cos \theta +\textrm{i}\sin \theta), \]

其中，\(r\)表示模长，\(\theta\)表示幅角.这称为复数的三角表示.

根据欧拉公式（可由泰勒展开证明）

\[ \textrm{e}^{\textrm{i}\theta} = \cos \theta+\textrm{i}\sin\theta, \]

上式还可以写作

\[ z=r\textrm{e}^{\textrm{i}\theta}. \]

这称为复数的指数表示.

上述表示中，指数表示在乘方、开方运算中十分优越.

复数的运算及其几何意义⚓︎

三角不等式⚓︎

乘积的模和幅角⚓︎

\[ \begin{cases} \left|z_1z_2\right|=\left|z_1\right|\left|z_2\right|,\\ \textrm{Arg}(z_1z_2)=\textrm{Arg}(z_1)+\textrm{Arg}(z_2),\\ \left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|},\quad z\neq 0,\\ \textrm{Arg}\bigg(\dfrac{z_1}{z_2}\bigg)=\textrm{Arg}(z_1)-\textrm{Arg}(z_2),\quad z\neq 0.\\ \end{cases} \]

对于乘法，在计算时，两个复数的模相乘，幅角相加.从几何上看，这一运算等效于对一个向量先逆时针旋转再拉伸.

对于除法，在计算时，两个复数的模相除，幅角相减.从几何上看，这一运算等效于对一个向量顺时针旋转再拉伸.

这样的结论符合乘除互为逆运算的本质.

注：上式中的2、4等式应该理解为：存在使此式成立的三个幅角.因此，当\(\textrm{Arg}\)换成\(\textrm{arg}\)，即辐角主值时，结论不一定成立.

但是，如果对于复数\(z_1\)和\(z_2\)，如果我们有\(\textrm{Re}\ z_1>0\)和\(\textrm{Re}\ z_2>0\)成立，那么上两式中的\(\textrm{Arg}\)换成\(\textrm{arg}\)也成立.

乘方与方根⚓︎

乘方运算⚓︎

\[z^n=r^n(\cos{n\theta}+\textrm{i}\sin{n\theta})=r^n\textrm{e}^{\textrm{i}n\theta}\]

推论：

\(r=1\)时，有

\[ (\cos{\theta}+\textrm{i}\sin{\theta})^n=\cos{n\theta}+\sin{n\theta}. \]

方根运算⚓︎

\[\omega=\sqrt[n]{r}e^{\textrm{i}\frac{\theta+2k\pi}{n}},\quad (k=0,1,\dots,2n-1)\]

注：根据代数定律，一个数开\(n\)次方根，一定会在复数域上产生\(n\)个结果，因此，方根运算的结果，其实就是将一个半径为\(n\)次根号模长的圆 (\(2\pi\)) 均分为n份，每一条分割的线(看做向量)对应其一个开根结果.这样来看，只要从\(\dfrac{\theta}{n}\)开始不断增加 \(\dfrac{2\pi}{n}\)，就能依次得到\(n\)个开根结果的幅角了.

共轭复数及其性质⚓︎

共轭复数的定义⚓︎

称复数 \(x-\textrm{i}y\) 为复数 \(x+\textrm{i}y\) 的共轭复数. 复数 \(z\) 的共轭复数常记为 \(\overline{z}\) . 显然对复数的模与幅角有

\[ \left|z\right| = \left|\overline{z}\right|, \textrm{Arg}\overline{z} = - \textrm{Arg}z \]

上式表明在复平面上，\(z\) 和 \(\overline{z}\) 关于实轴对称 .

共轭复数的性质⚓︎

复数及其共轭有如下性质：

\[\begin{cases}\overline{(\overline{z})} = z,\ \overline{z_1 \pm z_2} = \overline{z_1} \pm \overline{z_2} \\\\ \overline{z_1z_2} = \overline{z_1}\ \overline{z_2},\ \overline{(\dfrac{z_1}{z_2})}=\dfrac{ \overline{z_1}}{\overline{z_2}}\ ,z_2 \neq 0 \\ \\ \left|z\right|^2=z\overline{z},\ \textrm{Re}z= \dfrac{z+\overline{z}}{2},\ \textrm{Im}z=\dfrac{z-\overline{z}}{2\textrm{i}} \end{cases} \]

注：四则运算与共轭进行的顺序不改变计算结果 .

另外，对于任意两复数 \(z_1\) 和 \(z_2\) ，有性质

\[\left|z_1\pm z_2\right|^2=\left| z_1\right|^2 +\left| z_2\right|^2 \pm 2 \textrm{Re}(z_1\overline{z_2}). \]

注：由上式可得 \(\left|z_1+ z_2\right|^2+\left|z_1- z_2\right|^2=2(\left|z_1\right|^2+\left|z_2\right|^2)\) , 其几何意义为：平行四边形两对角线平方和等于各边的平方的和；复数 \(z_1\) 和 \(z_2\) 所表示的向量互相垂直的充要条件是 \(\textrm{Re}(z_1\overline{z_2})=0\) (勾股定理).

若 \(z\) 为实系数 \(n\) 次代数方程

\[a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1}+ \dots +a_1z+a_0=0\]

的根，则 \(\overline{z}\) 也为上述方程的根. 这表明：实系数的代数方程复根必成对出现.

注 : 本节所述性质以复数的代数表示记录，表征复数及其共轭在代数上的抽象性质. 而这些性质均可以用复数的几何表示记录，此方式表征复数所表示的向量在几何上的直观性质，在此不再分别说明 .

曲线的复数方程⚓︎

用复数方程表示复平面内的平面曲线⚓︎

由于本节内容相对简单，在此只以代入法为例作简单说明. 用复数表示圆或直线方程 \(a(x^2+y^2)+bx +cy+d=0\) , 其中 \(a,b,c,d\) 均为实常数.

令\(z=x+\textrm{i}y\) , 则

\[x=\dfrac{z+\overline{z}}{2}, y= \dfrac{z-\overline{z}}{2\textrm{i}}\]

代入原方程整理得

\[az\overline{z}+\overline{\beta}z+\beta\overline{z}+d=0 \]

其中\(\beta=\dfrac{b+\textrm{i}c}{2}\) .

注：用复数表示平面曲线方程有多种不同的形式，如用参数方程形式表示过\(a,b\)两点的直线方程可表示为

\[z=a+(b-a)t,其中t为实参数；\]

或

\[\textrm{Im}\dfrac{z-a}{b-a}=0, 即\textrm{arg}\dfrac{z-a}{b-a}=0\text{或}\ \pi.\]

又如，\(\left|z-z_0\right|=R\) 表示以 \(z_0\) 为心，\(R\)为半径的圆周 .

由复数方程确定复平面内的平面曲线⚓︎

此处亦以代入法为例. 确定方程

\[z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z +a\overline{a}-c=0,其中，a为复数，c>0\]

表示的平面方程.

记 \(a=\alpha +\textrm{i}\beta\), \(z= x+\textrm{i}y\) ,代入原方程得

\[ x^2+y^2 -2\alpha x -2\beta y +\alpha^2 +\beta^2 = c, \]

即方程所表示的曲线为；以 \((\textrm{Re}(a),\textrm{Im}(a))\)为心，\(\sqrt{c}\)为半径的圆周.

平面点集和区域⚓︎

点集、区域和简单曲线⚓︎

\(\varepsilon\)领域：由不等式\(\left| z-z_0\right|<\varepsilon\)所确定的点集，称为\(z_0\)的\(\varepsilon\)领域，记作\(N(z_0,\varepsilon)\).

内点：设\(E\)为一点集，\(z_0\)为一点.如果点\(z_0\in E\)，并且存在\(\varepsilon>0\)使得\(N(z_0,\varepsilon)\subset E\)，那么称\(z_0\)是\(E\)的内点.

外点：与上述类似的，存在\(\varepsilon>0\)使得\(N(z_0,\varepsilon)\)内的点都不在\(E\)中，则这个点\(z_0\)称为外点.

边界点：若对\(\forall \varepsilon>0\)，点\(z_0\)的任意领域都有在\(E\)内的部分，也有在\(E\)外部的部分，则称其为边界点，记作\(\partial E\).

区域：连通的开集称为区域.若\(D\)为一区域，在其内部任意作一条简单的闭曲线，若果曲线内部总属于\(D\)，则称其为单连通区域，否则称为多连通域.

闭区域：区域\(D\)加上其边界\(\partial D\)称为闭域，即\(\overline{D}=D+\partial D\).

最后更新: March 12, 2023
创建日期: March 12, 2023