动态电路的时域分析⚓︎

动态元件⚓︎

电容⚓︎

定义：

可用\(u-q\)平面上的一条曲线表示其特征的元件，称为电容。其对应的曲线称为库伏特性曲线。

电容是电路中的储能元件。

线性非时变电容⚓︎

定义⚓︎

如果电容的\(u-q\)曲线是一条过原点的直线，则称这样的电容为线性非时变电容，简称为电容，其特性可以表示为：

或

其中，C称为电容器的电容，单位为\(F\)(法拉)，显然，电容数值上等于直线的斜率。

注意：电容是电容器本身的属性，与电压和电流都没有关系。

u-i特性⚓︎

线性非时变电容两端的u-i关系可以表示为：

这表明，电容是一个动态原件，且电容上任一时刻的电流值由电压的变化率决定

反过来看

其中，前一部分积分值取决于0时刻之前的电路状态，称为初始值，记为\(u(0)\)

不难看出，想要确定电容的当前状态，除了需要现在电路的状态值，还需要电路的初始值，这说明，电容是一个记忆元件

电压变化⚓︎

只要电流\(i(t)\)是有限值，则电容两端的电压一定连续变化，即电压是连续函数，特别的，一定有\(u(0_-)=u(0_+)\)

当电流为冲击函数时，由于理论上电流趋于无穷，电压可能产生突变

电容器的能量⚓︎

对于线性非时变的电容，其电场能总是可以表示为：

这说明，电容器的能量，只与电压的瞬时值有关，而与电压建立的过程没有关联

电感⚓︎

定义：可以用\(\varphi-i\)平面上的一条曲线来表示的元件称为电感，这条曲线称为韦安特性曲线

线性非时变电感⚓︎

定义⚓︎

韦安特性曲线为一条过原点直线的电感器，称为线性非时变电感，简称为电感。

其特性满足：

其中，L称为电感，单位为\(H\)(亨)，电感是电感器本身的特性，和电压、电流无关

u-i关系⚓︎

电感和电容是对偶元件，因此其u-i关系与电容的u-i关系也是对偶的，可以表示为：

或者反过来

显然，电感元件也是一个记忆元件

电感的联接⚓︎

电感串联的总电感，类似电阻串联的规律

电感并联的总电感，类似电阻并联的规律

电感的能量⚓︎

在任一时刻，电感的能量可以记为：

耦合电感元件⚓︎

定义⚓︎

对于两个或两个以上的电流线圈，如果他们的磁通量彼此之间相互交链，则称他们磁耦合，或者说他们互感

若假定一些互感的线圈是磁耦合的，并且忽略他们中的电阻和匝间分布的电容，则这些线圈可以表示为理想化的耦合电感元件

线性耦合电感元件⚓︎

端口特性⚓︎

对于线性耦合电感，其磁通与电流之间满足：

其中，\(L_1\)和\(L_2\)和称为自感参数，\(M_{12}\)称为互感参数。

对于一个耦合电感元件，如果电流都从同名端流入，则两个电感相互加强，M为正；如果电流一个从同名端，一个从异名端流入，则两个电感相互削弱，M为负。

定义耦合系数K，\(K=\dfrac{M}{\sqrt{L_1L_2}}\)

若K=1，称为全耦合（理想情况）

若K接近1，称为强耦合

若K小于1，称为弱耦合

串联联接⚓︎

如果一个耦合电感的两个线圈串联接入电路，称为串联。若两个线圈的异名端相接（或者说以同样的顺序接入）则称为顺接，其对应的\(M>0\)；相反，如果同名端相接，则称为反接，其对应的\(M<0\)

串联的等效电感为\(L=L_1+L_2+2M\)

并联联接⚓︎

如果一个耦合电感并联接入电路，称为并联。若电流从两个同名端流入两个线圈，则相互加强，称为顺接，对应\(M>0\);若电流从异名的两端流入两个线圈，则相互削弱，称为反接，对应\(M<0\)

并联的等效电感为\(L=\dfrac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2\mp 2M}\)

一阶动态电路⚓︎

电路的响应⚓︎

零输入响应：在没有独立源时的系统响应

零状态响应：初始状态为0时，在独立源作用下的系统响应

全响应：在电路初始状态非0的情况下，由零状态响应和零输入响应共同决定的电路响应，称为全响应。

零输入响应⚓︎

一个标准的一阶电路，即仅有一个电容并联一个电阻，或者仅有一个电感串联一个电阻的电路，其零状态响应满足：

其中，\(U_0/I_0\)是电路的初始值，\(tau\)为时间常数，满足\(\tau=RC\)或\(\tau=GL\)

每经过一个时间常数的时间，电路响应量衰减为原来的36.8%，在工程中，一般认为经过\(4\tau\)到\(\tau\)的时间之后，电路恢复稳态。

零输入响应的过程，对应的是动态原件放电的过程。

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