端口特性
一端口
一端口的端口特性
对于仅含有电阻和受控源的一端口，可以用\(u-i\)关系描述：
\[
u=Ai
\]
其中的\(A\)实际就是一端口在端口处的等效电阻
对于含有独立源的一端口，也可以用\(u-i\)关系描述，但是略有不同：
\[
u=Ai+B
\]
对于一端口的特性方程，可以用外加电源法求解
一端口的等效电路
一端口总是可以等效为戴维南电路或者诺顿电路。
无独立电源的二端口电路
基本定义与概念
对于一个具有两个端口的电路，如果满足
\[
\begin{cases}
i_1+i_1'=0 \\
i_2+i_2'=0
\end{cases}
\]
即在两口处的进出电流相等，则称为二端口。
关于二端口，有如下一些需要注意的点：
若无独立电源，端口约束可以表达为：
\[
\begin{bmatrix}
c_{11}&c_{12}\\
c_{21}&c_{22}\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_1\\
u_2\\
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
d_{11}&d_{12}\\
d_{21}&d_{22}\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
i_1\\
i_2\\
\end{bmatrix}=0.\tag{1}
\]
开路电阻参数二端口方程
形式
将取\(i_1\)和\(i_2\)作为电路的自变量，由(1)：
则有：
\[
\begin{bmatrix}
u_1 \\
u_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
r_{11} & r_{12}\\
r_{21} & r_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
i_1 \\
i_2
\end{bmatrix}
\]
即：
\[
\boldsymbol{U}=\boldsymbol{R}\boldsymbol{I}.
\]
其中\(\boldsymbol{R}\)称为开路电阻矩阵，各个元素都与端口开路有关，故称开路电阻参数。
其中\(r_{11}\)称为入口驱动电阻；\(r_{12}\)称为正向转移电阻；\(r_{21}\)称为反向转移电阻；\(R_{22}\)称为出口驱动电阻。
参数的求法
对于二端口的r参数，一般有两种求法
应用
当两端口分别与戴维宁等效电源(\(E_S\)、\(R_{eq}\))、载荷相连接时，将端口电路与载荷看做一整体，其等效为一电阻\(R_S\)，既得：
\[
E_S=i_1R_{eq}+u_1.
\]
对于载荷端，设载荷等效电阻为\(R_H\)，则约束方程为
\[
u_2=-i_2R_H.
\]
上述两方程与端口约束：
\[
\begin{bmatrix}
u_1 \\
u_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
r_{11} & r_{12}\\
r_{21} & r_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
i_1 \\
i_2
\end{bmatrix}
\]
方程/未知数=4/4，可以解出\(u_k,i_k(k=1,2)\)，即确定电路状态。由这些结果可以算得电压转换比、电流转化比等参数。
这这种情况下，常用的电路参数的定义如下：
-
输入电阻： 从输入端口看入，整个右边的等效电阻
-
电压传输比：输出端电压与电压源电压之比
-
电流传输比：输出端电流与输入端电流之比
-
输出电阻：从输出端看如，整个左边对应的电阻
等效电路
一个二端口电路可以等效为如下的“T”形电路
特别的，如果二端口具有互易性，则可以等效为三个纯电阻，不再需要额外加入一个受控源
包含独立源的电阻参数形式
对于含有独立源的二端口，利用叠加定理：其等效为外加电源和内部电源分别独立工作效果的叠加。最终，其可以表示为如下形式：
\[
\begin{bmatrix}
u_1 \\
u_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
r_{11} & r_{12} \\
r_{21} & r_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
i_1 \\
i_2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
u_{1oc} \\
u_{2oc}
\end{bmatrix}
\]
其中后面额为附加的电压是在只有内部独立源工作时，端口两端产生的电压
短路电导参数二端口方程
形式
将取\(u_1\)和\(u_2\)作为电路的自变量，由(1)：
\[
\begin{bmatrix}
i_1 \\
i_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
g_{11} & g_{12}\\
g_{21} & g_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_1 \\
u_2
\end{bmatrix},
\]
即
\[
\boldsymbol{I}=\boldsymbol{G}\boldsymbol{U}.
\]
其中称\(\boldsymbol{G}\)为短路电导矩阵，其各个元素为短路电导参数。
等效电路
用电导形式表示的二端口，可以比较方便的等效为一个“\(\pi\)”形电路
同样的，如果电路具有互易性，则电流源的电流为0，可以完全等效为纯电阻
参数的计算方法
参数的计算方法与之前电阻矩阵的方法一致
r与g参数的互相转换
r和g是对偶的物理量，其对应的参数矩阵也是对偶的，因此\(R\)和\(G\)是互为逆矩阵的关系
其他参数矩阵
第一类混合参数（h参数）
\[
\begin{bmatrix}
u_1 \\
i_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
h_{11} & h_{12} \\
h_{21} & h_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
i_1 \\
u_2
\end{bmatrix}
=
\boldsymbol{H}
\begin{bmatrix}
i_1 \\
u_2
\end{bmatrix}
\]
第二类混合参数
\[
\begin{bmatrix}
i_1 \\
u_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\widehat{h}_{11} & \widehat{h}_{12} \\
\widehat{h}_{21} & \widehat{h}_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_1 \\
i_2
\end{bmatrix}
=
\boldsymbol{\widehat{H}}
\begin{bmatrix}
u_1 \\
i_2
\end{bmatrix}
\]
传输参数矩阵（a参数）
传输参数矩阵，也叫作级联参数矩阵
\[
\begin{bmatrix}
u_1 \\
i_1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_2 \\
-i_2
\end{bmatrix}
=
\boldsymbol{A}
\begin{bmatrix}
u_2 \\
-i_2
\end{bmatrix}
\]
对应的，存在一反向的传输参数矩阵：
\[
\begin{bmatrix}
u_2 \\
-i_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\widehat{a}_{11} & \widehat{a}_{12} \\
\widehat{a}_{21} & \widehat{a}_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_1 \\
i_1
\end{bmatrix}
=
\boldsymbol{\widehat{A}}
\begin{bmatrix}
u_1 \\
i_1
\end{bmatrix}
\]
二端口电路互连
串联(串-串联)
二端口的串联，用开路电阻矩阵对应刻画
设原本两二端口电路：\(N_1(u_1^{\prime},u_2^{\prime},i_1^{\prime},i_2^{\prime})\)和\(N_2(u_1^{\prime\prime},u_2^{\prime\prime},i_1^{\prime\prime},i_2^{\prime\prime})\)，将\(N_1\)的左端口电流输出接到\(N_2\)左端口电流输入，右端口类似，这种状态称为串联。
两者原本分别满足：
\[
\boldsymbol{U_1}=\boldsymbol{R_1}\boldsymbol{I_1},
\]
\[
\boldsymbol{U_2}=\boldsymbol{R_2}\boldsymbol{I_2},
\]
两者之间的关系：
\[
\boldsymbol{I_1}=\boldsymbol{I_2}=\boldsymbol{I},
\]
于是对于两者形成的更大的二端口电路有：
\[
\boldsymbol{U}=\boldsymbol{R}\boldsymbol{I},
\]
其中：
\[
\begin{cases}
\boldsymbol{U}=\boldsymbol{U_1}+\boldsymbol{U_2},\\
\boldsymbol{R}=\boldsymbol{R_1}+\boldsymbol{R_2}.
\end{cases}
\]
并联（并-并联）
二端口的并联，使用短路电导矩阵对应刻画
两者原本分别满足：
\[
\boldsymbol{I_1}=\boldsymbol{G_1}\boldsymbol{U_1},
\]
\[
\boldsymbol{I_2}=\boldsymbol{G_2}\boldsymbol{U_2},
\]
两者之间的关系：
\[
\boldsymbol{U_1}=\boldsymbol{U_2}=\boldsymbol{U},
\]
于是对于两者形成的更大的二端口电路有：
\[
\boldsymbol{I}=\boldsymbol{G}\boldsymbol{U},
\]
其中：
\[
\begin{cases}
\boldsymbol{I}=\boldsymbol{I_1}+\boldsymbol{I_2},\\
\boldsymbol{G}=\boldsymbol{G_1}+\boldsymbol{G_2}.
\end{cases}
\]
串并联
两个二端口的输入用串联连接，输出用并联连接，就形成了二端口的串并联，串并联用第一类传输参数矩阵对应刻画
两者满足：
\[
i_1=i_{a1}=i_{b1},
\]
\[
u_2=u_{a2}=u_{b2}
\]
两者合并形成的大的二端口电路，其传输参数矩阵满足：
\[
\boldsymbol{H}=\boldsymbol{H}_a+\boldsymbol{H}_b
\]
并串联
并串联是串并联的对偶形式，输入端用串联连接，输出端用并联连接，并串联用第二类传输参数刻画
形成的大二端口的第二类传输参数矩阵满足：
\[
\boldsymbol{\widehat{H}}=\boldsymbol{\widehat{H}}_a+\boldsymbol{\widehat{H}}_b
\]
级联
将两个二端口输出连接输入的连接方式，称为二端口的级联。根据方向不同分别使用两个方向的传输矩阵刻画，正向传输使用正向传输矩阵，反向传输使用反向传输矩阵
其矩阵的对应关系为：
\[
\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}_a+\boldsymbol{A}_b
\]
或者
\[
\boldsymbol{\widehat{A}}=\boldsymbol{\widehat{A}}_a+\boldsymbol{\widehat{A}}_b
\]
最后更新:
March 12, 2023
创建日期:
March 12, 2023