电路定理⚓︎

齐次性定理和叠加定理⚓︎

齐次性定理⚓︎

在只有一个激励\(w\)的线性电路中，取电路中任意支路电流或支路电压为响应\(y\)，当激励增大\(\alpha\)或者缩小\(\alpha\)倍的时候，响应同样增大或者缩小\(\alpha\)倍。

也可以代数的表示为：

根据线性电阻电路的性质，每一部分响应之间都是线性相加的，总响应变大，等效为每一部分响应增大，因此每一部分都可以表示为激励的一个比例函数，即

其中\(H\)称为网络函数，是一个实数。

叠加定理⚓︎

在线性电路中，任一电压或电流都是电路中各个独立电源单独作用时，在该处产生的电压或电流的叠加。

也可以数学的表示为:

或者

叠加定理使用时应注意：

• 在叠加时，应注意叠加的方向

• 在叠加时，受控源应保留在支路中，不能看做独立源处理（即，叠加定理只针对独立源叠加）

• 功率的计算不能利用叠加定理（原因是P是UI的二次函数，与各个独立源不是线性关系）

• 叠加也可以一组一组的叠加，不一定要对于单独对于每一个电源叠加

替代定理⚓︎

对有唯一解的电路N，若已知其第k条支路的电流电压分别为\(i_k,u_k\)，则无论这条支路的组成如何，都可以用一个\(u_s=u_k\)的电压源或者一个\(i_s=i_k\)的电流源替代之

替代定理的使用应注意：

• 替代定理对替换支路的元件性质没有要求，即使内部有非线性的或者时变的元件也可以使用替代定理（不过对于时变系统应该理解为某一时刻的电压与电流）

• 使用替代定理，电路一定要有唯一解

• 被替换支路不能是含有受控源或者是控制受控源的支路，也不可以是磁耦合的支路

• 替代定理除了可以替代支路，也可以用来拆分电路

• 除了替代部分之外的其他电路保持原状

戴维宁定理⚓︎

对于任意含源电阻电路N，在其端口处可以用一个电压源和一个电阻替代之。其中，电源电压对应开路电压，电流源电阻为端口等效电阻。

使用戴维宁定理应注意：

• 戴维宁定理要求等效部分线性，不作等效的部分不要求

• 等效部分和不等效电路之间不能存在受控源和控制支路的关系，即要么两者一起等效，要么一起不等效

开路电压的求法⚓︎

对于无受控源的电路，可以直接利用分压分流计算

对于含有受控源的电路，应该用节点法或者回路法分析

路端电阻的求法⚓︎

对于无受控源的电路，可以用串并联法简单直接计算

对于有受控源的电路，有两种方法

• 虚设电源法。在端口处虚拟一个电压源，利用回路分析或节点分析，求出虚设支路上的电压和电流，相除得到外部电阻

• 开路电压除短路电流。将端口处短路，用回路分析法求出此短路支路的电流，在结合之前求得的开路电压，即可计算

• 并非所有的电路都可以作戴维宁等效

诺顿定理⚓︎

对于任意含源线性电阻电路N，在其端钮处可以用电流源与电导并联来替代。其中电流源电流是短路电流，电阻为端口处等效电阻。

诺顿定理的等效实际上就是将依据戴维宁定理做的等效再作一次等效。

互易定理⚓︎

互易定理总共包含三条定理，在此作一整合，统述为一条。

定理：

对于任一内部不含独立源与受控源的线性电阻电路N，任取两个端钮11'和22'，则以下三条成立：

（1）先在端口11'处施加\(u_{s1}\)的电压，在22'处测得短路电流\(i_2\);然后在端口22'处施加\(u_{s2}\)的电压，在11'处测得短路电流\(i_1\)，则满足\(\dfrac{u_{s1}}{i_2}=\dfrac{u_{s2}}{i_1}\)。特别的，若\(u_{s1}=u_{s2}\)，则\(i_2=i_1\)

（2）先在端口11'处施加\(i_{s1}\)的电流，在22'处测得开路电压\(u_2\)；然后在端口22'处施加\(i_{s2}\)，在11'处测得\(u_{1}\)的开路电压，则满足\(\dfrac{u_2}{i_{s1}}=\dfrac{u_1}{i_{s2}}\)。特别的，若\(i_{s1}=i_{s2}\)，则\(u_2=u_1\)

（3）先在端口11'处施加\(i_{s1}\)的电流，在22'处测得短路电流\(i_2\)；然后在端口22'处施加\(u_{s2}\)，在11'处测得\(u_{1}\)的开路电压，则满足\(\dfrac{i_2}{i_{s1}}=\dfrac{u_1}{u_{s2}}\)。特别的，若\(i_{s1}\)和\(u_{s2}\)在数值上相等，则\(i_2\)和\(u_1\)在数值上相等

关于互易定理，做如下说明：

• 在定理的三条结论中，第一条对应电压激励与电流响应，第二条对应电流激励与电压响应，第三条对应电流激励电流响应以及电压激励电压响应

• 互易定理的使用面其实很窄，定理要求中间电路部分是纯电阻电路，而且要线性非时变

• 所有观测的响应，都是零状态响应

• 虽然互易定理要求无源，但是互易和无源实际上是不相关的

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