电路分析的基本方法⚓︎

电路的分类⚓︎

\[ \text{电路} \begin{cases} \text{线性电路} \begin{cases} \text{线性非时变电路} \begin{cases} \text{线性非时变电阻电路}\\ \text{线性非时变动态电路}\\ \end{cases} \\ \text{线性时变电路} \begin{cases} \text{线性时变电阻电路}\\ \text{线性时变动态电路}\\ \end{cases} \\ \end{cases} \\ \text{非线性电路} \begin{cases} \text{非线性非时变电路} \begin{cases} \text{非线性非时变电阻电路}\\ \text{非线性非时变动态电路}\\ \end{cases} \\ \text{非线性时变电路} \begin{cases} \text{非线性时变电阻电路}\\ \text{非线性时变动态电路}\\ \end{cases} \\ \end{cases} \\ \end{cases} \]

电路的等效替换⚓︎

线性电阻、独立电源的等效替换⚓︎

线性电阻的串联和并联⚓︎

由\(n\)个线性非时变电阻\(R_1,\dots,R_n\)串联而成的一端口电路，其端口电阻为

\[ R=\sum_{i}R_i, \]

并联时，其端口电阻为

\[ \dfrac{1}{R}=\sum_{i}\dfrac{1}{R_i}, \]

或者也可以记作

\[ G=\sum_{i}G_i. \]

对于三角形式和星型的电阻电路，如下图可以相互转化：

转化公式为：

\[ \begin{cases} R_1=\dfrac{R_{12}R_{13}}{R_{12}+R_{13}+R_{23}},\\ R_2=\dfrac{R_{12}R_{23}}{R_{12}+R_{13}+R_{23}},\\ R_3=\dfrac{R_{13}R_{23}}{R_{12}+R_{13}+R_{23}},\\ \end{cases} \]

\[ \begin{cases} R_{12}=R_1+R_2+\dfrac{R_1R_2}{R_3},\\ R_{13}=R_1+R_3+\dfrac{R_1R_3}{R_2},\\ R_{23}=R_2+R_3+\dfrac{R_2R_3}{R_1}.\\ \end{cases} \]

这里的\(G\)称为等效电导.

独立电源的串联⚓︎

对于端口电压分别为\(u_1\)和\(u_2\)的独立电压源，其串联后得到的等效电压源的端口电压为

\[ u=u_1+u_2. \]

对于端口电流分别为\(i_1\)和\(i_2\)的独立电流源，当且仅当\(i_1=i_2\)时，有

\[ i=i_1+i_2. \]

电压源与电流源串联时，干路电流由电流源决定.

独立电源的并联⚓︎

对于端口电压分别为\(u_1\)和\(u_2\)的独立电压源，当且仅当\(u_1=u_2\)时，其并联后得到的等效电压源的端口电压为

\[ u=u_1=u_2. \]

对于端口电流分别为\(i_1\)和\(i_2\)的独立电流源，有

\[ i=i_1+i_2. \]

电压源与电流源并联时，开路电压由电压源决定.

独立电源与电阻的串联和并联⚓︎

电压源与线性非时变电阻的串联，称为戴维宁电路；电流源与线性非时变电阻的并联，称为诺顿电路.

若戴维宁电路中电压源为\(u_S\)，电阻为\(R\)；诺顿电路中电流源为\(i_S\)，电导为\(G\)，且两者等效时满足：

\[ \begin{cases} u_S=Ri_S,\\ R=\dfrac{1}{G}. \end{cases} \]

电源转移⚓︎

无伴电压源的转移⚓︎

无伴电压源，指的是没有电阻与改电压源串联的电压源.这类电压源的转移方法如下：

无伴电流源的转移⚓︎

无伴电流源，指的是没有电阻与该电流源串联的电流源

无伴电流源可以转移到与其并联的每一条支路上，并与该支路的每个电阻元件并联

具体转移方法如下：

受控电源的转移⚓︎

在进行电路等效变换时，受控电源和独立电源可以用完全相同的方法处理，但是需要注意以下两条原则。

受控电源的控制支路不能进行等效处理
待求支路不能进行等效处理

对称电路等效变换⚓︎

翻转对称⚓︎

如上图，可以沿着某一中轴线完全对称的电路，称为翻转对称电路。

将翻转对称电路沿中线切断，将交叉线短接，平行线断开，则两部分电路性质一致，如下图所示：

旋转对称⚓︎

如上图，沿着某一轴线旋转180度后，可以完全与原图重合的电路称为旋转对称电路。

将旋转对称电路沿着中间一线切开，将交叉线断开，平行线短接，则两部分电路的性质一致，如下图所示：

其余等效方式⚓︎

等势点⚓︎

两个电势相等的节点，可以用导线连接，也可以彼此之间断开

单个电阻的拆分⚓︎

一个电阻可以拆分称两个并联或者串联的电阻，这种等效可以将电路图变化成对称的形式

单电源⚓︎

单个电源可以拆分成两个电源。电压源拆分为两个等电压的电压源，但电流变为一半；电流源拆分成两个各占一半电流的电流源。这种变换可以把单个电源的接近对称的电路转化为对称的电路。

回路分析法⚓︎

以各回路的回路电流作为位置变量列出方程，称为回路分析法；一般的，对于简单的电路图，我们采用更特殊的网孔分析法，因为每一个网孔都是一个单连支回路。

我们假设各个网孔的电流为\(i_{\textrm{m}k}\)(对于上图而言，\(k=1,2,3\))。于是我们可以得到如下的式子：

\[ \begin{pmatrix} R_{11}&R_{12}&R_{13}\\ R_{21}&R_{22}&R_{23}\\ R_{31}&R_{32}&R_{33}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i_{\textrm{m}1}\\ i_{\textrm{m}2}\\ i_{\textrm{m}3}\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} u_{\textrm{S}11}\\ u_{\textrm{S}22}\\ u_{\textrm{S}33}\\ \end{pmatrix}, \]

其中，每一部分意义如下：

电阻系数矩阵\(\boldsymbol{R}\)主对角线元素：自电阻，即该回路中总电阻值，取正；
\(\boldsymbol{R}\)中非对角线元素\(R_{ij}\)：互电阻，回路\(i\)和\(j\)公共的电阻，其中，流向相同取正，反向取负；
\(u_{\textrm{S}ii}\)：表示回路\(i\)中电压源电压升的代数和，受控电源和独立电源可以采用相同的处理方式。
对于纯电阻的电路，电阻系数矩阵一定是对称矩阵。

一些特殊情况的处理

对于有无伴电流源的支路，可以利用电流源转移，或者用虚网孔法，即将独立电源所在支路视为一个网孔，且这个网孔回路中的电流就是电流源电流。

对于有开口的电路，可以在开口处补充虚拟的电源形成回路，再使用回路分析法。

对于与电流源串联的电阻，应做短路处理；对于与电压源并联的电阻，应做断路处理。

节点分析法⚓︎

将电压设为未知变量求解的方法叫节点分析法。

首先，选定参考点，例如节点4。于是可以列出以下方程：

\[ \begin{pmatrix} G_{11}&G_{12}&G_{13}\\ G_{21}&G_{22}&G_{23}\\ G_{31}&G_{32}&G_{33}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{\textrm{n}1}\\ u_{\textrm{n}2}\\ u_{\textrm{n}3}\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} i_{\textrm{S}11}\\ i_{\textrm{S}22}\\ i_{\textrm{S}33}\\ \end{pmatrix}, \]

其中，上述各部分意义如下：

电导系数矩阵\(\boldsymbol{G}\)的主对角线\(G_{ii}\)：自电导，表示与节点\(i\)关联支路的电导之和，取正值；
\(\boldsymbol{G}\)中非主对角线元素\(G_{ij}\)：互电导，表示节点\(i\)与\(j\)之间的电导之和，取负值。
\(i_{\textrm{S}ii}\)：流入节点的电流源电流的代数和，流入取正，流出取负。

一些特殊情况的处理

在某一条支路上串联的电阻，该支路的电导应该是先将电阻求和再取反.

对于电压源，一般等效为电流源之后再计算.

对于有理想放大器的电路，由于输出路的电流未知，必然有一个节点无法列方程，因此应补充一个虚短的方程.

对于无伴电压源支路，可以将电压源以及其两端的节点一起看做一个节点，对这一节点列方程，之后，补充一个两端节点电势差等于电压源电压的方程，保证方程总数一致

对于与电流源串联的电阻，应做短路处理；对于与电压源并联的电阻，应做断路处理。

回路分析的矩阵方法⚓︎

基本回路矩阵⚓︎

对于一个有\(b\)条支路，\(l\)条基本回路的连通图，其基本回路矩阵\(\boldsymbol{B}\)定义如下：

\[ \boldsymbol{B}=(b_{ik})_{l\times b}, \]

其中：

\[ b_{ik}=\begin{cases} 1,\quad \text{支路}k\text{与基本回路}i\text{有关联，且参考方向一致}\\ -1,\quad \text{支路}k\text{与基本回路}i\text{有关联，且参考方向相反}\\ 0.\quad \text{支路}k\text{与基本回路}i\text{没有关联}\\ \end{cases} \]

基本割集矩阵⚓︎

对于一个有\(b\)条支路，\(c\)个基本割集的连通图，其基本割集矩阵\(\boldsymbol{Q}\)定义如下：

\[ \boldsymbol{Q}=(q_{ik})_{c\times b}, \]

其中：

\[ q_{ik}=\begin{cases} 1,\quad \text{支路}k\text{与基本割集}i\text{有关联，且参考方向一致}\\ -1,\quad \text{支路}k\text{与基本割集}i\text{有关联，且参考方向相反}\\ 0.\quad \text{支路}k\text{与基本割集}i\text{没有关联}\\ \end{cases} \]

对偶电路⚓︎

定义⚓︎

如果\(\tilde{N}\)的节点方程与电路\(N\)的网孔方程不仅形式相同，各项系数以及激励的数值相同，那么电路方程的解的数值也分别相等，称这样的两个电路互为对偶电路。

对偶原理⚓︎

如果电路中某一关系的表述是成立的，则将表述中的概念（变量，参数，元件，结构等）用其对偶因素转换后所得的对偶表述也一定是成立的，这称为对偶原理。

对偶电路的绘制⚓︎

对于对偶电路，可以按照如下步骤绘制：

将每个网孔对应成一个节点，特别的，将外网孔对应成参考节点
从一个节点引一条线，穿过一个元件，并终止于另一个节点；在对偶图上，作一条连接对应两个节点的支路，并且包括一个原电路电子元件的对偶。如果相同节点之间能引多条连线，则对偶电路中各条支路之间并联
对于电路的方向：当电压源的极性沿着顺时针方法升高时，对偶电流源的电流方向指向该网孔对应的节点方向；当电流源的电流与网孔电流的方向相同时，对偶电压源的正极性落在该网孔对应的节点上

最后更新: March 12, 2023
创建日期: March 12, 2023