基本概念与基本规律⚓︎

电路和电路模型⚓︎

电⚓︎

电的两种形式：能量形态（电池），信号形式（图像、声音）

电路模型⚓︎

（1）把呈现单一电磁性质的电路元件称为理想电路元件，电路理论是对由理想电路元件组成的电路模型进行分析的过程。

（2）对于一个实际电路器件，想要构建能够描述其性质的模型往往需要多个理想电路元件，有时候，同一器件的构建方式还会随条件的变化而变化

集中参数电路⚓︎

若实际电路的尺寸远小于其使用的最高频率对应的波长时，无需考虑电磁量的空间分布（只用考虑时间分布），这样的元件称为集中参数元件，有集中参数元件组成的电路称为集中参数电路

一般而言，满足\(\lambda \geqslant 100l\)即可认为是集中参数元件（\(l\)为元件最大尺寸，\(\lambda\)为波的波长 ）

集中参数电路应用电路理论分析，一般可以被表示为常微分方程的形式

分布参数电路⚓︎

在电路使用时的频率较高，不满足上述条件时，需要同时考虑电磁场的时间与空间对电路电磁量的影响，这样的电路称为分布参数电路

分布参数电路应用电磁场理论分析，一般可以被表示为偏微分方程

电路变量⚓︎

基本变量⚓︎

电压与电流，电荷与磁通可以作为电路的基本变量，知道其中任意一对，即可确定电路的特性

电压与电流⚓︎

电压与电流⚓︎

电流：\(i=\dfrac{\textrm{d}q}{\textrm{d}t}\)

电压：\(u=\dfrac{\textrm{d}\omega}{\textrm{d}q}\)(单位正电荷有一点转移到另一点得到或者失去的能量)

参考方向⚓︎

电流与电压的参考方向可以任意选取，当物理量为正时，表示方向与参考方向相同；当物理量为负时，表示方向与参考方向相反

当电流的标准方向为从电压的正流向电压的负时，称这样的方向为一致参考方向

电路分析时，必须要选取参考方向

功率与能量⚓︎

在一致参考下

功率表示为：

其中，\(p>0\)表示吸收功率；\(p<0\)表示发出功率.

能量表示为：

\(w>0\)表示无源；\(w<0\)表示有源.

电路基本规律⚓︎

图论的基础知识⚓︎

• 图：是一组节点和一组支路的集合，且每条支路的两端必须终止在两个节点上.这种说法排除了自环.
• 连通图：全部节点都为支路所连通的图称为连通图，否则称为非连通图.
• 有向图：各支路都标有参考方向的图称为有向图，否则称为无向图.
• 子图：如果给定图\(G\)和一系列图\(G_i\)，能够保证\(G_i\)中每个节点、每个支路都是\(G\)中的节点和支路，那么称这些\(G_i\)为图\(G\)的子图.
• 回路：给定图\(G\)的一个子图\(G_i\)，如果其是联通的，并且每个节点与且仅与两条支路相关联，那么称这个子图\(G_i\)是\(G\)的一个回路.
• 树：给定图\(G\)的一个子图\(G_i\)，如果\(G_i\)是包含图\(G\)中所有节点而不形成回路的连通图，那么称这个子图\(G_i\)是图\(G\)的一个树.我们把子图中的支路称为树支，把图\(G\)中除去树支以外的支路称为连支.
• 割集：对于连通图\(G\)的任一支路集，如果移去该集合中所有支路，能够使图\(G\)分割成两个部分，并且只要少移去其中的任一支路，图仍然是连通的，那么称这个支路集为割集.
• 基本回路：由一条连支和若干条树支构成的回路称为基本回路.
• 基本割集：仅包含一条树支的割集叫做基本割集.

电路图论的基本结论⚓︎

对于一个具有\(n\)个节点，\(b\)条支路的图而言，其应该具有\(n-1\)条树支，\(b-n+1\)条连支，\(b-n+1\)个基本回路，\(n-1\)个基本割集，\(b-n+1\)个(内)网孔.

对于一个基本回路(单连支回路)而言，沿着该回路的电压之和为零(KVL).也就是说，我们可以列出具有\(b-n+1\)个方程的方程组；对于一个基本割集(单树支割集)而言，流入的电流与流出的电流相等(KCL).也就是说，我们可以列出具有\(n-1\)个方程的方程组.对于电路的拓扑约束，我们有\(b\)个方程.

对于单一元件，电流电压总是互相约束的，因此，对于\(b\)条支路，共有\(b\)个约束方程，称为元件约束(VCR).

对于\(n\)个节点(元件)，我们共有\(u_1,u_2,\dots,u_b,i_1,i_2,\dots,i_b\)共计\(2b\)个未知数.因此，根据拓扑约束和元件约束，我们可以求出这些未知量.

基尔霍夫电流定律（KCL）⚓︎

对于任一集中参数电路中的任一节点，在任一时刻，流出该节点的所有支路电流的代数和为0，这称为基尔霍夫电流定律，或者基尔霍夫第一定律

注：这里的流出是将流入看做流出取反方向的一种广义的流出，在数学上表现为电流符号的正负。

KCL定律的物理本质是电流连续性在集中参数电路中的体现，或者说是节点处的电荷守恒定律，即节点上没有电荷的积累，有多少电荷流入，必定有多少电荷流出。

由KCL所得的方程，称为KCL方程，n个节点b条支路列出的n个KCL方程中，只有n-1个有效方程

KCL也适用于广义节点，即任一割集或高斯面

基尔霍夫电压定律（KVL）⚓︎

对于任一集中参数电路中的任一回路，在任一时刻，沿着该回路的所有支路电压的代数和为0，这称为基尔霍夫电压定律，或者基尔霍夫第二定律

关于正负的选择，当支路电压的参考方向与选定回路绕行方向一致时取正，否则取负

KVL定律的物理本质是能量守恒定律，在任一时刻，电路从外界获得的能量为0

关联矩阵与降阶关联矩阵⚓︎

对于一个具有n个节点，b条支路的有向图，定义一个矩阵\(\boldsymbol{A}_a=[a_{ik}]_{n\times b}\)，其行号对应节点，列号对应支路，第(i,k)个元素定义为：

这样的矩阵称为电路的节点-支路矩阵，简称为关联矩阵

关联矩阵描述了一个电路节点与支路之间连接关系的全部信息

对于关联矩阵，不难证明其秩为n-1，这说明在关联矩阵的n行中，存在一行可由其他行线性运算获得，这一行包含的信息实际上是多余的，因此，将\(\boldsymbol{A}_a\)中任意一行删去，得到一个n-1行、b列的矩阵，其秩仍为n-1，称之为降阶关联矩阵，一般记为\(\boldsymbol{A}\)

相比于关联矩阵而言，使用降阶关联矩阵运算能得到相互独立的方程，在计算上更有优势

想由降阶关联矩阵得到关联矩阵也很简单，只需添加一行，并保证每一列元素的和为0即可

KCL与KVL的矩阵形式⚓︎

对于一个n个节点，b条支路的电路，定义支路电流向量为\(\boldsymbol{i}_b=[i_1,i_2,\dots,i_b]^T\)，定义支路电压向量为\(\boldsymbol{u}_b=[u_1,u_2......,u_n]^T\)，定义节点电压向量为\(\boldsymbol{u}_n=[u_{n1},u_{n2},\dots,u_{nn}]\)

依据以上定义，KCL方程的矩阵形式可以表示为：

KVL方程的矩阵形式可以表示为：

特勒根定理⚓︎

特勒根第一定理⚓︎

对于n个节点，b条支路的电路，取一致参考方向，则其支路电压向量和支路电流向量之间满足如下关系：

特勒根第一定理，在本质上是功率守恒定理.

特勒根第二定理⚓︎

对于两个拥有相同有向图，且其有向图均包含n个节点，b条支路，并且取一致参考方向时，他们各自的支路电压分量和支路电流分量之间满足如下规律：

进一步，若针对不同时刻，同一电路，则满足：

更进一步，若针对不同时刻，不同电路，则满足：

电阻电路元件⚓︎

电阻元件⚓︎

定义⚓︎

一个二端元件，如果在任一时间\(t\)，其端钮间的电压\(u\)和通过其中的电流\(i\)之间的关系是由\(u-i\)平面上的一条曲线所决定，那么称这种元件为电阻元件.

电阻所确定的电压-电流关系又称为电阻的伏安特性.其表示成一个方程

分类⚓︎

根据其伏安特性，可分为线性或非线性的，或者分为时变或非时变的.

线性非时变电阻⚓︎

如果一个电阻的伏安特性曲线是一条不随时间变化的、通过原点的直线，那么这种电阻称为线性非时变电阻.这种电阻的特性方程一般表示为

其中，\(R\)表示电阻的电阻值，单位为欧姆；\(G\)表示电阻的电导，单位为西门子.通过上式，不难发现它们之间存在如下的关系：

一般而言，有\(R>0\)，这种电阻我们称为正电阻.特别地，当\(R<0\)时，我们称这种电阻是负电阻；当\(R=0\)时，即短路.如果某电阻的伏安特性曲线与\(u\)轴重合，那么显然地，是开路的情况.

线性时变电阻⚓︎

如果一个电阻的伏安特性曲线是随着时间变化的，但始终通过坐标原点，那么称之为线性时变电阻.这种电阻对应的特征方程是

其中，\(R(t)\)和\(G(t)\)分别是在\(t\)时刻电阻对应的电阻和电导.

理想开关和旋钮电阻是典型的线性时变电阻.

对于线性电阻而言：其伏安特性曲线始终关于原点对称，是双向电阻.在实际应用中，这种电阻的两个端钮无需加以区分，可以任意地接入电路中去.

非线性电阻⚓︎

二极管是最常见的非线性电阻.大致可以分为如下几类.

对于非线性电阻，但我们表述其电阻时，分为静态电阻和动态电阻.对于伏安特性曲线上某点\((u_0,i_0)\)，其静态电阻是

动态电阻是

对于理想的二极管，其伏安特性曲线满足：

独立电源⚓︎

电流源和电压源⚓︎

电压源是一个理想的电路元件，其电压电流关系为

式中，\(u_s\)是给定的时间的单值函数.特别地，当电压源是直流电源时，其为固定的常数.

电流源也是一个理想的电路元件，其电压电流关系为

式中，\(i_s\)是给定的时间的单值函数.也别的，当电流源是直流电源时，其为固定的常数.

分析二者的伏安特性曲线，不难看出两者都是特殊的电阻元件.

典型的独立源信号⚓︎

常量（直流）信号⚓︎

正弦信号⚓︎

以正弦和余弦表示的信号，都叫做正弦信号

正弦信号有三个特征量：

• A：振幅

• \(\omega\)：角频率

• \(\phi\)：相位

单位阶跃信号⚓︎

注意：在\(t=0\)的时候，没有定义

• 单位阶跃函数是不连续的函数，在0处发生跳变

• 单位阶跃函数在0处具体取值没有实际意义，对于电路无关紧要，可以看作从\(0_-\)到\(0^+\)的过程中，电路由0跳变为1

• 单位阶跃函数可以消去0以前的信号，相当于一个在0时刻关闭的开关

• 延时阶跃函数\(\varepsilon(t-t_0)\)在\(t_0\)处实现跳变

单位脉冲信号⚓︎

容易知道:\(\int_{0}^{\Delta}P_{\Delta}(t)dt=1\)

其与单位阶跃函数的关系满足：

单位冲激信号⚓︎

• \(\lim_{\Delta\to 0}P_{\Delta}(t)=\delta(t)\)

• 若用单位冲激信号代表电流，则理解为在t=0时刻将1C的电荷输入到电路当中

• \(\varepsilon(t)'=\delta(t) \quad\) 当然，如果反过来，则满足积分关系

• 单位冲激信号具有筛分性，常用于连续信号的取样

单位斜坡信号⚓︎

容易知道单位斜坡函数和单位阶跃函数为求导关系：

单位对偶冲激⚓︎

受控电源⚓︎

受其他支路电压或电流控制的电源

压控电压源（VCCS）：转移电压比\(u=\frac{u_2}{u_1}\)

流控电压源（CCVS）：转移电阻\(r=\frac{u_2}{i_1}\)

压控电流源（VCCS）：转移电导\(g=\frac{i_2}{u_1}\)

流控电流源（CCCS）：转移电流比\(\beta=\frac{i_2}{i_1}\)

注：在以上的表达式中，下标为2的物理量对应受控电源支路，下标为1的物理量对应受控电源所依赖的电路

受控电源的控制量是开路电压或者是短路电流，在实际作图时，这一条支路一般不表示在图上，而是直接表明控制关系。

受控电源可以是线性的也可以不是线性的，可以是时变的也可以不是时变的。若特征量\(u,r,g,\beta\)都是常数，则对应线性非时变元件；若特征量\(u(t),r(t),g(t),\beta(t)\)，则对应线性时变元件。

受控电源是一种有源元件。

受控电源常用来模仿电子器件中所发生的物理现象。

运算放大器⚓︎

基本介绍⚓︎

如上图，\(+U\)和\(-U\)的两个端钮接入直流工作电源。\(u_-\)和\(u_+\)是输入端，其中，\(u_+\)称为同相输入端、\(u_-\)称为反相输入端，\(u_+-u_-\)为输入电压。\(u_0\)为输出端，输出的为输出电压。

运放的输入输出关系图如下所示

当运放在图中的线性区域工作，称开环增益，此时运放的输出为：

理想运放⚓︎

运放可以用受控电源表示如下：

运放如果满足：\(R_i\to \infty，R_o=0，A\to \infty\)，则称为理想电源

理想电源具有两个重要特征：

虚短：两个输入端之间可以看成短路

虚断：两个输入端输入的电压为0

理想变压器⚓︎

理想变压器是一般变压器的理想化模型，在两个同名端在同侧时，满足：

负转换器⚓︎

负转换器包括电流负转换器(INC)和电压负转换器(VNC).对于电流反向负转换器，其电流电压满足：

对于电压反向负转换器，其电流电压满足：

负转换器是一种有源元件.

理想回转器⚓︎

对于理想回转器，其电压电流满足以下关系：

其中，\(r\)或者\(G=\dfrac{1}{r}\)分别称为回转电阻、回转电导，简称为回转比，是一常数.

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