第二讲⚓︎

自由粒子波函数问题⚓︎

自由粒子波函数的处理⚓︎

自由粒子的定态薛定谔方程描述为：

该方程的解可以描述为：

其中：\(k=\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\).

上述本征值\(E\)对应的\(f(t)=\mathrm{e}^{-i\hbar E/t}\)，于是波函数表示为：

其中，\(E=\dfrac{p^2}{2m}\)，\(p=\hbar k\).

\(\Psi(x,t)\)可以理解成向左传播与向右传播的两个波的叠加，于是可以简写成：

这时，\(k=\pm \dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\).

不可积问题以及解决⚓︎

在全空间中，上述函数的模的平方是不可积的，换句话说，它不满足归一化条件。因此，对于自由粒子，是不存在确定的能量的本征值的。

解决方式是类比波函数的态的叠加原理，给定\(\phi(k)\)的分布，叠加出的新的波函数来描述自由粒子：

这里的\(A\)为方便计算常取\(\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\)，\(\phi (k)\)取\(\Psi (x,0)\)的傅里叶变换，即

相速度和群速度⚓︎

可将波函数与经典波相比较，经典波的波动函数为

则相速度：\(v=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{E/\hbar}{p/\hbar}=\dfrac{E}{p}=\dfrac{p}{2m}=\dfrac{\hbar k}{2m}\).

额外解释上一步最后一个等号：

群速度：\(v=\dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}\bigg |_{k=k_0}=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k}(\dfrac{E}{\hbar})\bigg |_{k=k_0}=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k}(\dfrac{p^2}{2m\hbar})\bigg |_{k=k_0}=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k}(\dfrac{\hbar k^2}{2m})\bigg |_{k=k_0}=\dfrac{\hbar k_0}{m}.\)

高斯波包⚓︎

定义⚓︎

下面讨论一个特殊的波包：高斯波包。这意思是各个定态波函数的权重\(\phi (k)\)是一个高斯函数，即：

带入波函数表达式：

得到归一化波函数：

其中：\(v=\dfrac{p_0}{m}\)(群速度)，\(\Delta =\dfrac{\hbar t}{2md^2}\).

高斯波包的推论⚓︎

高斯波包的前进速度为群速度\(v=\dfrac{p_0}{m}=\dfrac{\partial E}{\partial p}\bigg |_{p=p_0}\).

高斯波包的平均位置\(\langle x\rangle=vt\).

高斯波包位置的方差\(\sigma _x ^2=d^2(1+\Delta ^2)\).

评论