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群⚓︎

等价关系与集合分类⚓︎

关系的定义⚓︎

一个非空集合\(S\)，对任何一个有序元素对\((a,b)\)都可以判断\(a\mathcal{R}b\)是否成立，则称\(\mathcal{R}\)是一个关系，又称其为二元关系。

等价关系的定义⚓︎

如果对于一个集合的一个关系\(\mathcal{R}\)具有如下性质：

  1. 自反性：\(\forall a\in S\)，都有\(a\mathcal{R}a\)；
  2. 对称性：若\(a\mathcal{R}b\)，则\(b\mathcal{R}a\)；
  3. 传递性：若\(a\mathcal{R}b\)且\(b\mathcal{R}c\)，则\(a\mathcal{R}c\)。

那么称\(\mathcal{R}\)是\(S\)的一个等价关系。若\(a\mathcal{R}b\)，则称\(a\)与\(b\)等价，即\(a\sim b\)。

等价类和商集⚓︎

如果\(\sim\)是集合\(S\)的一个等价关系，\(a\in S\)，则记

\[ [a]=\{x\sim a\mid x\in S\} \]

为等价类。\(S\)全体等价类的集合称为\(S\)的商集，即

\[ S/\sim =\{[a]\mid a\in S\} \]

同余关系及其等价类⚓︎

在整数集\(\mathbb{Z}\)中，给定整数\(m\)，定义下面的等价关系为同余关系：

\[ a\mathcal{R}b\iff m\mid a-b. \]

给定元素\(a\)的等价类表达为：

\[ [a]=\{a+km\mid k\in \mathbb{Z}\} \]

其模\(m\)的商集又称为模\(m\)剩余类集，表示为：

\[ \boldsymbol{Z}_m=\{[0],[1],\dots,[m-1]\}. \]

集合的分类⚓︎

若对于集合\(S\)的一个子集簇\(\{S_i\mid i\in I\}\)满足如下要求：

  1. \(S=\displaystyle\bigcup_{i\in I}S_i\),
  2. \(S_i\cap S_j=\varnothing ,i\neq j\)。

则称子集簇\(\{S_i\mid i\in I\}\)为集合\(S\)的一个划分，记作\(\mathcal{P}={S_i\mid i\in I}\)。

群的概念⚓︎

代数运算的定义⚓︎

对于非空集合\(A\)，若\(\forall a,b\in A\)，通过某个法则”\(\cdot\)“都有唯一确定的元素\(c\)与之对应，则称该法则为集合\(A\)上定义的一个代数运算，表达式为

\[ a\cdot b=c. \]

代数运算要求运算结果唯一且封闭。

群的定义⚓︎

对于非空集合\(G\)上的代数运算"\(\cdot\)"满足：

  1. 结合律：\(\forall a,b,c\in G\)，有\((a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\)成立；
  2. 存在单位元：\(\forall a\in G\)，\(\exists e\in G\)使得\(e\cdot a=a\cdot e=a\)成立；
  3. 存在逆元：\(\forall a\in G\)，\(\exists a^{-1}\in G\)使得\(a^{-1}\cdot a=a\cdot a^{-1}=e\)。

则称\((G,\cdot )\)是一个群。

阿贝尔群/交换群，群的阶⚓︎

如果\((G,\cdot)\)是一个群，并且还具有交换律，即：\(\forall a,b\in G\)，有\(a\cdot b=b\cdot a\)成立，则这个群又叫做阿贝尔群/交换群。

群的阶表示该集合含有的元素数量，记作\(\left | G\right |\)。若阶有限，又称有限群，反之称为无限群。

特殊的群⚓︎

\(n\)次单位根群⚓︎

\(n\)次单位根群定义为：

\[ U_n=\{x^n=1\mid x\in \mathbb{C}\}=\{e^{\cfrac{2k\pi i}{n}}\mid 0\leqslant k\leqslant n-1,k\in \mathbb{Z}\} \]

这是一个\(n\)阶的交换群。

模\(m\)剩余类加群⚓︎

模\(m\)剩余类加群定义为

\[ Z_m=\{\overline{a}\mid 0\leqslant a \leqslant m-1,a\in \mathbb{Z}\} \]

模\(m\)单位群⚓︎

模\(m\)单位群定义为\((U,\cdot)\)，其中：

\[ U(m)=\{\overline{a}\mid 0\leqslant a \leqslant m-1,\gcd(m,a)=1,a\in \mathbb{Z}\} \]

如果\(p\)为质数，则可以特别记作\(Z_p^{*}\)，此时：

\[ Z_p^*=\{\overline{0},\overline{1},\dots,\overline{p-1}\} \]

根据欧拉函数，其阶为

\[ \varphi(p)=p\prod_{i}(1-\dfrac{1}{p_i}) \]

其中\(\{p_i\}\)为\(p\)的所有不包含\(1\)的质因数构成的集合。

群的性质定理⚓︎

若\(G\)是一个群，那么有下列结论均成立：

  1. 群\(G\)的单位元唯一；
  2. 群\(G\)的每个元素的逆元唯一；
  3. 对于任意的\(a\in G\)，有\((a^{-1})^{-1}=a\)；
  4. 对于任意的\(a,b\in G\)，有\((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\)；
  5. 在群中，消去律成立，也就是说：若\(ac=bc\)，或者\(ca=cb\)，则有\(a=b\)。

群的判断⚓︎

除了定义法，还有如下方法也可以判断群：

定理一：如果具有代数运算的非空集合\(G\)满足：

  1. \(G\)的运算满足结合律；
  2. \(G\)中存在元素\(e\)是左单位元，也即对于任意的\(a\in G\)，都有\(ea=a\)；
  3. \(G\)中的每一个元素都存在左逆元，也即对于任意的\(a\in G\)，都\(\exists a^{-1}\in G\)，使得\(a^{-1}a=e\)。此处\(e\)是左单位元。

证明：不妨设对于\(a\)有\(a^\prime a=e\)，对于\(a^\prime\)有\(a^{\prime\prime}a^\prime =e\)，则

\[ aa^\prime =eaa^\prime=(a^{\prime\prime}a^\prime)aa^\prime=e \]

也就是说，左逆元就是右逆元，再：

\[ ae=a(a^\prime a)=ea=a \]

可知左单位元就是右单位元。

定理二：如果\(G\)是一个具有乘法运算并且具备结合律的非空集合，那么\(G\)构成群的充分必要条件是：\(\forall a,b\in G\)，方程

\[ ax=b,\quad ya=b \]

有解。

证明：任取\(b\in G\)，\(yb=b\)一定有解，记作\(e\)，即\(eb=b\)。又对任意的\(a\in G\)，\(bx=a\)有解，记作\(c\)。那么

\[ ea=e(bc)=(eb)c=bc=a. \]

所以\(e\)是\(G\)的左单位元。

又对任意的\(a\in G\)，都有\(ya=e\)满足，假设为\(a^{-1}\)，即所有元素都有左逆元。

由定理一，可知\(G\)构成群。

子群⚓︎

定义⚓︎

假设\(G\)是一个群，\(H\)是\(G\)的一个非空子集。如果\(H\)关于\(G\)的代数运算也构成一个群，那么称\(H\)是\(G\)的一个子群。

显然\(G\)本身和\(\{e\}\)都是\(G\)的子群，但是没有研究意义，称它们为平凡子群。具备研究意义的是非平凡子群。

单位元和逆元的继承⚓︎

定理：如果\(H\)是\(G\)的一个子群，那么\(H\)与\(G\)的单位元相同；并且\(\forall a\in H\)，其逆元就是\(a\)在群\(G\)中的逆元。

证明：假设\(e^\prime\)为\(H\)中的单位元，\(e\)为\(G\)中的单位元，那么

\[ e^\prime\cdot e=e^\prime =e^\prime\cdot e^\prime. \]

根据消去律消去\(e^\prime\)：

\[ e=e^\prime . \]

假设\(a^\prime\)是\(a\)在\(H\)中的逆元，则

\[ a^\prime a=e^\prime =e =a^{-1}a. \]

消去\(a\)，得到：

\[ a^\prime =a^{-1}. \]

子群的证明⚓︎

朴素证明法：利用定义证明，需要证：非空子集、单位元存在性、逆元存在性。由于子群继承了群的代数运算，因此可以对运算封闭性和结合律不加以证明。

定理二（逆与乘积的封闭性）：若\(G\)是群，\(H\)是\(G\)的非空子集，如果满足：（1）若\(\forall a,b\in H\)，则\(ab\in H\)；（2）若\(a\in H\)，则\(a^{-1}\in H\)。则\(H\)构成子群。

定理三：\(G\)为群，设\(H\)是\(G\)的非空子集，如果\(\forall a,b\in H\)，都有\(ab^{-1}\in H\)，那么\(H\)构成子群。

子群的性质⚓︎

子群的交：如果\(H_1\)和\(H_2\)是群\(G\)的子群，那么\(H=H_1\cap H_2\)还是\(G\)的子群。

证明：由于\(e\in H_1,H_2\)，所以\(e\in H_1\cap H_2=H\)。即\(H\)是非空的子集。

又\(\forall a,b\in H_1\cap H_2\)，根据逆元存在以及乘法封闭，有

\[ ab^{-1}\in H_1\cap H_2=H. \]

于是根据子群判断定理，有\(H\)也是子群。

最小子群：若\(S\)是群\(G\)的非空子集，那么所有包含\(S\)的群\(G\)的子群的交称包含\(S\)的\(G\)的最小子群。对于这样的最小子群\(\left \langle S\right \rangle\)，其结构满足：

\[ \left\langle S \right\rangle=\{a_1^{l_1}a_2^{l_2}\dots a_k^{l_k}\mid a_i\in S,k\in \mathbb{N},l_k=\pm 1\}. \]

上面这个式子说人话就是，任意选取\(S\)中的一个元素或其逆元，与该集合中任意一个元素相乘的结果还在这个元素之中，所以表达为连续的乘积。

通常，如果\(S\)中的元素不太多，例如：\(S=\{a,b\}\)，那么还可以这么写：

\[ \left\langle S\right\rangle=\left\langle a,b \right\rangle. \]

群的同构⚓︎

同构映射、群的同构⚓︎

如果有\(G\)和\(G^\prime\)两个群，并且\(\phi\)是群\(G\)到\(G^\prime\)的一一映射，使得\(\forall a,b \in G\)，都有：

\[ \phi(a\cdot b)=\phi(a)\cdot \phi(b). \]

则称\(\phi\)是群\(G\)到\(G^\prime\)的一个同构映射，并且称两群同构。

群与自身的同构叫做自同构。

恒等映射⚓︎

如果映射\(\phi:G\mapsto G\)，并且\(\phi(a)=a\)，则称这个映射为恒等映射。恒等映射是一个自同构映射，通常也记作\(\iota:G\mapsto G\).

同构映射的证明⚓︎

证明某个映射是同构映射，经常分为以下几步证明之：证明映射关系、证明单射关系、证明满射关系、证明\(\phi(a\cdot b)=\phi(a)\cdot \phi(b)\)(保算性).

反之，若要证明两群不同构，也可以从上述几条要求入手。常见的方法是说明单位元在映射下的像不再是单位元。

同构映射下单位元和逆元的像⚓︎

若映射\(\phi\)是\(G\)到\(G^\prime\)的同构映射，且\(e\)和\(e^\prime\)分别是两个群的单位元，且\(a\in G\)，则：

  1. \(\phi(e)=e^\prime\);

  2. \(phi(a^{-1})=phi(a)^{-1}\);

  3. \(\phi ^{-1}\)是\(G^\prime\)到\(G\)的同构映射.

对称群、变换群、凯莱定理⚓︎

可逆变换构成的群⚓︎

对于给定的集合\(X\)，假设\(S_X\)是所有\(X\)上的可逆变换构成的集合，则该集合对于可逆变换的合成构成群。

这个结论是比较显然的，可逆变换的合成依然是可逆变换，因此满足封闭性；可逆变换的逆元就是改变换的逆变换，满足逆元存在性；恒等变换就是单位元，满足单位元存在性。因此，\(S_X\)构成群。

对称群、变换群⚓︎

集合\(X\)上所有可逆变换构成的群\(S_X\)称为对称群，对称群的任一子群称为变换群。

凯莱定理⚓︎

凯莱定理揭示了：任何一个群都和一个变换群同构。

最后更新: March 12, 2023
创建日期: March 12, 2023

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