连续时间系统的频域分析⚓︎

系统频率响应⚓︎

定义⚓︎

系统频率响应\(H(\mathrm{j}\omega)\)，是LTI系统单位冲激响应\(h(t)\)的傅里叶变换。

对于任意输入\(e(t)\)，系统响应可以通过以下方式求取：

对基本信号的响应⚓︎

输入信号\(e(t)=e^{\mathrm{j}\omega_0 t}\)是LTI系统的特征函数，而\(H(\mathrm{j}\omega)\)是对应的特征值。因为：

值得注意的是，\(H(\mathrm{j}\omega)\)是复变函数，其包含了幅频特性\(\left |H(\mathrm{j}\omega) \right |\)和相频特性\(\varphi (\omega)\)。

正弦激励的响应⚓︎

若激励信号为正弦信号\(e(t)=\sin \omega _0t\)，且系统的\(H(\mathrm{j}\omega)=\left | H(\mathrm{j}\omega)\right |\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi (\omega)}\),则系统的稳态响应：

信号失真⚓︎

失真的定义⚓︎

信号经过系统的传输，受到系统函数\(H(\mathrm{j}\omega)\)的加权，使得信号的输出波形发生了变化。各频率分量幅度发生不同程度的改变称为幅度失真；各频率分量的相移不与频率成正比称为相位失真。

无失真传输条件⚓︎

下面讨论信号输入为\(e(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\)的无失真条件。该信号的输出为\(H(\mathrm{j\omega})\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\)，该信号形式应该与输入形式相同，只有幅度的整体加强或者时移，即\(K\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega (t-t_0)}\).对比可知：\(H(\mathrm{j}\omega)=K\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_0}\).

\(H(\mathrm{j}\omega)=K\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_0}\)，也即\(h(t)=K\delta(t-t_0)\)就是无失真传输的条件。

该条件可以分解为：

理想低通滤波器⚓︎

定义⚓︎

理想低通滤波器是将大于截止频率\(\omega_C\)的频率过滤掉，因此其系统函数

于是其单位冲激响应函数\(h(t)=\dfrac{\omega_C}{\pi}\mathrm{Sa}[\omega_C(t-t_0)]\).正因此，理想低通滤波器是不可实现的，因为其是非因果系统。

对于系统单位冲激响应\(h(t)\)，若\(t<0\)时\(h(t)\neq 0\)，则其是非因果系统。

理想低通滤波器的单位阶跃响应⚓︎

也就是求取单位阶跃响应\(u(t)\)和\(h(t)\)的卷积，其结果为：

其中，\(\mathrm{Si}(y)=\displaystyle\int _0^y\mathrm{Sa}(x)\ \mathrm{d}x\)称为正弦积分函数。

正弦积分函数是奇函数，并且有\(\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}\mathrm{Si}(x)=\pm \dfrac{\pi}{2}\)。以及\(\mathrm{Si}_{\max}(x)=\mathrm{Si}(\pi)\).

由于\(\mathrm{Si}_{\max}(x)=\mathrm{Si}(\pi)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\pi}\mathrm{Si}(\pi)\approx 1.0895\).这是吉布斯现象的解析解。

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