周期信号的傅里叶级数表示⚓︎
正交函数⚓︎
定义⚓︎
如果复变函数 \(\varphi _1(x)\)与\(\varphi _2(x)\)正交，那么它们满足如下的关系：
\[
\int_{t_1}^{t_2}\varphi _1(x)\varphi ^*_2(x)\ \mathrm{d}x=0,
\]
若两函数是实变函数，则实变函数的共轭函数就是它自己，上式一样是成立的.
正交函数集⚓︎
如果一个集合是函数的集合，并且集合中的函数两两正交，那么这个集合称为正交函数集，即
\[
\int_{t_1}^{t_2}\varphi _i(x)\varphi ^*_j(x)\ \mathrm{d}x=\begin{cases}
0,&i\neq j\\
K_i.&i=j.
\end{cases}
\]
特殊地，如果\(K_i=1\)，则这个正交函数集称为归一化正交函数集.
完备正交函数集⚓︎
如果对于一个正交函数集合，不存在其他的函数与集合内任一函数正交，则这个正交函数集是完备的.
常见的完备正交函数集是三角函数集：\(\{1,\cos (n\omega _0t),\sin (n\omega _0t)\mid n=1,2,\dots \}\)和复指数函数集：\(\{\mathrm{e}^{jn\omega t}\mid n=0,\pm 1,\pm 2,\dots \}\).
函数的正交分解⚓︎
若函数集合\(\{\varphi _r(t)\}\)是完备正交函数集时，对于任一函数\(f(t)\)可以写成：
\[
f(t)=\sum_{r=1}^{\infty}C_r\varphi _r(t).
\]
为了求取\(C_r\)，两边同时乘\(\varphi _m^*(t)\)并积分，得到：
\[
\int_{t_1}^{t_2}f(t)\varphi _m^*(t)\ \mathrm{d}t=\sum_{r=1}^{\infty}C_r\int_{t_1}^{t_2}\varphi _r(t)\varphi _m^*(t)\ \mathrm{d}t.
\]
由于\(\{\varphi _r(t)\}\)是完备正交函数集，即：
\[
\int_{t_1}^{t_2}\varphi _i(x)\varphi ^*_j(x)\ \mathrm{d}x=\begin{cases}
0,&i\neq j\\
K_i.&i=j.
\end{cases}
\]
于是：
\[
C_r=\dfrac{1}{K_m}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\varphi _m^*(t)\ \mathrm{d}t.
\]
三角形式傅里叶级数⚓︎
上述已经对正交函数分解作出了一些说明，傅里叶级数就是选取了常用完备正交函数集进行函数正交分解。
三角傅里叶级数形式⚓︎
一般分解形式为：
\[
f(t)=a_0+\sum_{i=1}^{+\infty}(a_n\cos n\omega t +b_n \sin n\omega t).
\]
各个系数：
\[
\begin{cases}
a_0=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int f(t)\ \mathrm{d}t,\\
a_n=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int f(t)\cos n\omega t\ \mathrm{d}t,\\
b_n=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int f(t)\sin n\omega t\ \mathrm{d}t.
\end{cases}
\]
积分域常取\((-\dfrac{T}{2},\dfrac{T}{2})\)或\((0,T)\).
可以使用辅助角公式合并正余弦函数：
\[
f(t)=A_0+\sum_{i=1}^{+\infty}A_n\cos (n\omega t +\varphi _n).
\]
其中，
\[
\begin{cases}
A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2},\\
\varphi _n=-\arctan \dfrac{b_n}{a_n}.
\end{cases}
\]
特殊函数的分解结果⚓︎
复指数形式傅里叶级数⚓︎
复指数形式的傅里叶级数形式如：
\[
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F(n\omega _0)\mathrm{e}^{jn\omega _0t}.
\]
类似的，其系数可以表示为：
\[
F(n\omega _0)=\dfrac{1}{T}\int_{T}f(t)\mathrm{e}^{-jn\omega _0t}\ \mathrm{d}t.
\]
复指数形式和三角形式的关系⚓︎
根据欧拉公式对余弦函数做复指数代换，不难得到：
\[
\begin{aligned}
f(t)&=A_0+\sum_{n=1}^{+\infty}A_n\cos (n\omega t+\varphi _n)\\
&=_0+\dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}A_n\mathrm{e}^{jn\omega t}\mathrm{e}^{j\varphi _n}+\dfrac{1}{2}\sum_{n=-1}^{-\infty}A_n\mathrm{e}^{jn\omega t}\mathrm{e}^{-j\varphi _n}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F(n\omega _0)\mathrm{e}^{jn\omega _0t}.
\end{aligned}
\]
故而，
\[
F(0)=A_0,\quad F(n\omega)=\dfrac{1}{2}A_n\mathrm{e}^{j\ \mathrm{sgn} (n)\ \varphi _n}.
\]
根据这个式子可以由单边谱画出双边谱，或由双边谱画出单边谱。
最后更新:
March 14, 2023
创建日期: March 14, 2023
创建日期: March 14, 2023