信号与系统
信号的能量与功率
对于连续信号\(x(t)\)或者离散信号\(x[n]\)，其在一段时间\(t_1\leqslant t_2\)或者\([n_1,n_2]\)内的总能量定义为
\[
\int_{t_1}^{t_2} \left|x(t)\right|^2dt\\
\sum_{n=n_1}^{n_2} \left|x(t)\right|^2
\]
基本连续信号
Sa信号
该信号定义为：
\[
Sa(t)=\dfrac{\sin t}{t}
\]
对于该信号，其在时域上的积分值：
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}Sa(t)dt=\pi
\]
对其归一化处理，得到一个新的信号函数：
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}Sinc(t)dt=\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{\sin \pi t}{\pi t}dt=1
\]
斜变信号
定义为
\[
R(t)=\begin{cases}
at,\quad t\geqslant 0\\
0\quad otherwise
\end{cases}
\]
该函数是奇异函数，因为其导数在零点处不连续。
阶跃信号
定义为
\[
u(t)=\begin{cases}
1,\quad t>0\\
0.\quad t<0
\end{cases}
\]
其与单位斜变信号的关系满足：
\[
u(t)=R^\prime(t)
\]
矩形信号（门函数）
定义为
\[
G_\tau (t)=\begin{cases}
1,\quad \left|t\right|\leqslant\dfrac{\tau}{2}\\
0.\quad otherwise
\end{cases}
\]
单位冲激信号
定义具有如下性质的函数\(\delta(t)\)为单位冲激函数：
- \(\delta(t)=\begin{cases}\infty,\quad t=0\\0.\quad t\neq 0\end{cases}\)
- \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=1\)
根据门函数的定义可知，单位冲激函数又可以表示成：
\[
\delta(t)=\lim_{\tau\to 0}G_{\tau}(t)
\]
冲激函数的性质
抽样性质
\[
x(t)\delta(t)=x(0)\delta(t)
\]
\[
x(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)\delta(t-t_0)
\]
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\delta(t)dt=x(0)
\]
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\delta(t-t_0)dt=x(t_0)
\]
不过需要注意积分有限时要注意积分区间是否包含冲激函数非零时的取值：
\[
\int_{-3}^{3}x(t)\delta(t-4)dt=0\neq x(4).
\]
偶函数性质
冲激函数时偶函数，即
\[
\delta(t)=\delta(-t)
\]
尺度变换性质
对于冲激函数的尺度变换，有
\[
\delta(at)=\dfrac{1}{\left|a\right|}\delta(t)
\]
可由\(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(t)\delta(at)dt\)通过积分变换证明之。
冲激函数的积分、微分与卷积
对于冲激函数，其还有以下性质成立：
\[
\int_{-\infty}^t\delta(\tau)d\tau=u(t)
\]
\[
\delta(t)=u^\prime(t)
\]
\[
x(t)*\delta(t)=x(t)
\]
\[
x(t)*\delta(t-t_0)=x(t-t_0)
\]
冲击偶函数
定义
冲激函数的一阶导函数称为冲击偶函数，它是由两个互不抵消的相反的冲激信号组成，记作\(\delta^\prime(t)\)。
冲击偶函数的积分
冲击偶函数积分为零，即：
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}\delta^\prime(t)dt=0
\]
抽样性质
\[
f(t)\delta^\prime(t)=f(0)\delta^\prime(t)-f^\prime(0)\delta(t)\tag{1}
\]
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta^\prime(t)dt=-f^\prime(0)\tag{2}
\]
上述(1)可由求导求得，即：
\[
\begin{aligned}
\ [ f(t) \delta (t) ] ^\prime &=f^\prime(t)\delta(t)+f(t)\delta^\prime(t)\\
&=f^\prime(0)\delta(t)+f(t)\delta^\prime(t)\\
&=f(0)\delta^\prime(t).
\end{aligned}
\]
上述(2)可由(1)两边积分并利用\(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\delta^\prime(t)dt=0\)即可。
抽样性质的推广
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta^\prime(t-t_0)dt=-f^\prime(t_0)
\]
冲击偶函数是奇函数
\[
\delta^\prime(-t)=-\delta^\prime(t)
\]
单位样值序列
定义
下面的序列称为单位样值序列：
\[
\delta[n]=\begin{cases}
1,\quad n=0\\
0,\quad n\neq0
\end{cases}
\]
根据该定义，可以得到单位样值序列的一个表达式：
\[
\delta[n]=u[n]-u[n-1]
\]
抽样性质
\[
x[n]\delta[n-n_0]=x[n_0]\delta[n-n_0]\\
\sum_{-\infty}^{+\infty}x[n]\delta[n-n_0]=x[n_0]
\]
离散序列的恢复
\[
x[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k]
\]
系统的描述与分类
因果性
如果一个系统在任何时刻输出的结果只与该时刻的输入和之前的输入有关，则称该系统是因果的；否则称为非因果的。
例如系统\(y(t)=x(t-2)+x(t+2)\)就是非因果的；\(y(t)=x(t)\cos (x+1)\)就是因果的。
只需令时刻\(t=0\)，而后观察是否存在\(t>0\)时刻的输入即可，若存在则可表明是非因果的。
稳定性
如果对于有界的输入系统的输出也都有界，则说明该系统是稳定的。即\(\forall \left|x(t)\right|\leqslant A\)，都\(\exist B\in \mathbb{R}\)使得\(\left|y(t)\right|\leqslant B\)。
线性
如果对于一个系统，输入\(f_1\)时输出为\(y_1\)；输入\(f_2\)时输出为\(y_2\)。那么这个系统时线性的当且仅当：输入\(af_1+bf_2\)时，系统输出\(ay_1+by_2\)。
时不变性
如果对于输入系统的一个信号仅有时间上的延迟时，系统输出的信号也具有相同时长的延迟，那么就称这个系统具有时不变性质。
判断一个系统是否具有时不变性质，只需要判断\(\mathcal{T}[x(t-t_0)]\)是否与\(y(t-t_0)\)相同即可。
最后更新:
March 12, 2023
创建日期:
March 12, 2023